اویلر ریاضیدان

درود فراوان به تمامي دوستان

چند روز پيش داشتم به کتاب تئوري مقدماتي اعداد نوشته مرحوم زنده ياد دکتر غلامحسين مصاحب نگاه ميکردم که در باب حل معادله و معادلات مطلب جالبي رو ديدم .

معادله زير رو در نظر بگيريد

اين معادله در کتاب جبر و مقابله از خوارزمي آمده است . اين معادله ، معادله ساده اي هست که به راحتي قابل حل مي باشد . حال ، حل اين معادله رو به روش محمد بن موسي خوارزمي دانشمند و رياضيدان قرن سوم هجري بخوانيد .البته صورت مساله هم به اين صورت که در بالا نوشتيم نبوده بلکه بدين صورت بوده است :

« عددي تعيين کنيد که حاصلضرب مجموع ثلثش با 1 در مجموع ربعش با 2 مساوي باشد با آن عدد بعلاوه ي سيزده ».

قبل از خوندن روش حل اين معادله لازم به ذکر مي باشد که رياضيون دوره اسلامي جمله معلوم معادله را عدد ، مجهول را شي ، و مربع مجهول را مال مي ناميدند.

« اگر گفته شود کدام عدد است که چون ثلث آن و يک در ربع آن و دو ضرب شود آن عدد بعلاوه ي سيزده بدست آيد طريق آن اينست که ثلث شي را در ربع آن ضرب کني نصف سدس مال ميشود و دو را در ثلث شي ضرب کني تا دو ثلث شي شود و يک را در ربع شي ضرب کني تا ربع شي حاصل شود و دو را در يک ضرب کني تا دو شود پس حاصل نصف سدس مال و دو عدد و يازده جزء از دوازده جزء شي ميشود که معادل است با شي بعلاوه ي سيزده عدد پس دو از سيزده بينداز يازده ميشود و يازده جزء از شي بينداز باقي مي ماند نصف سدس شي و يازده که بايد با نصف سدس مال معادل باشد مال را کامل کن به اين طريق که آن را در دوازده ضرب کني و دگر چيزهايي را که داراي در دوازده ضرب کني مال معادل ميشود با صد و سي و دو و شي قاعده ي آن اينست که شي را نصف کني ميشود يک نصف پس آن را در خودش ضرب کن ميشود يک ربع آن را به صد و سي و دو اضافه کن ميشود صد و سي و دو و يک ربع . جذر اين را بگير ميشود يازده و يک نصف آن را به نصف شي که يک نصف است بيفزا ميشود دوازده و آن عدد مطلوب است » .

ظاهرا رياضيدانان قديم استاد خوبي در نوشتن و تشريح مطالب و مسائل بودند . نکته اي که در اينجا وجود داره اينکه جوابهاي معادله نامبرده فوق 11 و 12- هستند که با توجه به اينکه اون زمان هنوز اعداد منفي شناخته نشده بودند آقاي خوارزمي جواب معادله رو فقط 11 بدست آورده بود .

واما سوالات جديد ...

سوال 1 – در شکل زیر مقدار x را بدست آورديد .

سوال 2 – اگر جمعيت يک شهر در هر سال به اندازه   اضافه شود ، پس از چند سال جمعيت آن دو برابر مي شود

سوال 3 – اتاقي است که طول آن 30 متر ، عرض آن 12 متر و ارتفاع آن هم 12 متر است . روي خط قائمي که از وسط يکي از ديوارهاي کوچکتر گذشته است و به فاصله يک متر از سقف ، عنکبوتي واقع است . روي عمودي که از وسط ديوار مقابل گذشته است و به فاصله يک متر از کف اتاق مگسي قرار دارد . عنکبوت ، مگس را که از ترس نيمه جان شده بود و حتي تلاشي هم براي نجات خود نکرد ، دستگير کرد . مي خواهيم کوتاهترين راهي را که عنکبوت براي رسيدن به شکار خود مي تواند انتخاب کند ، پيدا کنيم .

واما پاسخ سوالات پست قبل . لازم ميدونم از دوستاني که زحمت کشيدن و مساله ها رو حل کردن تشکر کنم .

جواب سوال 1 – قبل از ارائه راه حل براي اين مساله لازم به توضيح که يکي از دوستان پاسخ صحيح اين مساله را ارائه کردند و در اينجا راه حل رو مي توانيد ببينيد.

فرض کنيم ، گربه در نقطه A و موش در نقطه C باشد ، AB ديوار قائم ، BC فاصله موش تا ديوار روي خط افقي و O نقطه اي باشد که در آنجا گربه توانسته است موش را بگيرد . در اينصورت OC=OA . نقطه O ، که بايد آنرا پيدا کنيم ، مرکز دايره اي است که از نقطه هاي A و C عبور مي کند .

D را نقطه اي مي گيريم که در آنجا دايره خط BC را قطع مي کند .

 مثلث CAD ، که محاط در نيمدايره مي باشد ، در زاويه A قائمه است . در مثلث قائم الزاويه ارتفاع وارد بر وتر واسطه هندسي است بين دو قطعه وتر  ، يعني

در نتيجه

از آنجا ، 10 = 8  +  2  = DC و 5  =  OC   و 3  =  OB

بنابراين گربه در نقطه اي که به فاصله 3 متر از ديوار است ، موش را مي گيرد . و حل مساله کامل است .

جواب سوال 2 – براي حل اين مساله بايد به بعضي ملاحظه ها که به طور پنهاني در آن وجود دارد توجه کنيم .

براي سهولت در حل مساله ، به زبان عادي مرحله به مرحله را در نظر ميگيريم و به زبان جبري بيان ميکنيم .

الف ) تاجر سرمايه اي دارد

ب) که در سال 100 دلار آنرا خرج مي کند

ج ) به باقيمانده پولش ، یک سوم آن اضافه مي شود

د) در سال دوم ، دوباره 100 دلار خرج مي کند

ه ) به باقيمانده ، يک سوم آن ، اضافه مي شود

و) در سال سوم ، باز هم ، 100 دلار خرج مي کند

ح) و به باقيمانده ، يک سوم آن اضافه مي شود

بنابراين حل مساله ، منجر به حل اين معادله مي شود

بنابراين

در نتيجه  يعني سرمايه تاجر در ابتدا 1480 دلار بوده و حل مساله کامل است .

جواب سوال 3 – اين مساله از اون نوع مسائلي هست که در ظاهر شايد سخت باشه ولي اگر به روابط مثلثاتي آشنايي داشته باشيم و کمي تمرکز به راحتي قابل حل خواهد بود .

مي دانيم

بنابراين

به روش مشابه خواهيم داشت

با استفاده از رابطه

مي توان نوشت

يا به عبارتي

که با محاسبه   مقدار دقيق بدست خواهد آمد و حل مساله کامل است .

جواب سوال 4 – اولين کارگاه خودکار در ساعت 8 شروع بکار کرده است . و 15 کارگاه بقيه هر يک بفاصله  ساعت ، بنابراين همه کارگاهها بعد از نيم ساعت کار را شروع کرده اند.

کار 16 کارگاه در 5/6 ساعت چنين مي شود

و براي محاسبه محصول کارگاهها در فاصله نيم ساعت اوليه ، از تصاعد حسابي استفاده مي کنيم :

که بنا به مفروضات مساله داريم  در نتيجه

و بنابراين جواب کل برابر است با 108 متر و حل مساله کامل است .

جواب سوال 5 – فرض کنيد تعداد افرادي که با هر دو نفر دست مي دهند n باشد . شخص a را در نظر بگيريد ، فرض کنيد

{افرادي که با a دست داده اند } = B

 {افرادي که با a دست نداده اند } = C

مي دانيم

اگر  باشد ، افرادي که هم با a و هم با b دست مي دهند در B هستند ، پس b با n نفر در B دست مي دهد و با  نفر در C .

اگر  باشد همه افرادي که هم با a و هم با c دست مي دهند در B هستند پس c با n نفر در B دست مي دهد .

پس در مجموع تعداد دست دادنهاي بين B و C رابطه زير را نتيجه مي دهد .

حال براي  داريم   و 4m صحيح نخواهد بود. و براي  ، فقط براي 3 = k جواب صحيح داريم ، پس 36 نفر در ميهماني بوده اند . و جواب کامل است.

شاد باشید.