درود بر دوستان !

امیدوارم که همگی خوب و خوش وخرم و خوشحال و خوشگل و خوب باشید. دقیقا ۲۷۶ روز که به دلیل مشکلا و مشغله ای که بود نتوانستم در وبلاگ مطلب بنویسم . که تصمیم دارم از این به بعد اگر فرصتی و عمری باشد نوشتن مطلب در وبلاگ رو دنبال کنم .

مطلبی که برای این پست در نظر گرفتم در مورد معکوس پذیری توابع می باشد که با توجه به گستردگی و سنگینی مطلب عموما در کتب دبیرستان و ریاضیات عمومی دانشگاه از نوشتن آن خودداری می شود و تنها به اشاره ای کفایت می کنند .امیدوارم این مطلب برای علاقمندان مفید واقع شود.

نکاتی در مورد وارون توابع :

تعریف 1 : مجموعه عبارتست از گردایه ای (دسته ای) از اشیاء کاملا مشخص و دوبدو متمایز.

تعریف 2: به عبارتی ساده ولی نه چندان دقیق ، یک خانواده دسته ای از اشیاء کاملا مشخص است که لزوما دوبدو متمایز نیستند.

فرض کنیم یک مجموعه باشد و به هر عنصر مانندیک عضو متناظر است، خانواده تمام عضوهای نظیر را خانواده عضوهای اندیس دار گوییم
تعریف 3 : فرض کنیم A وB دو مجموعه باشند، یک تابع زیر مجموعه ای چون f ازاست بطوریکه
الف) اگر آنگاه b ی درB هست که
ب) این عنصر b یکتاست ، به عبارت دیگر ، اگر و طوری باشند که و  آنگاه نتیجه می گیریم که b=c .
تعریف 4: اگر یک تابع باشد ، آنگاه زیر مجموعه B ، نگاره f (بردf)به صورت زیر تعریف می شود:

تعریف 5: تابع  پوشا برروی ‌‌B است ، اگر هر عضو B به ازای حداقل یک a در A ، به صورت
 باشد.
تعریف 6: تابع یک به یک است اگر به ازای هر ،  تساوی a=b را ایجاب کند.
تعریف 7: تابع دوسویی یا تناظر یک به یک است ، هرگاه هم یک به یک و هم پوشا به B باشد.
مثال 1 : تابع همانی که با ضابطه برای هر ،تعریف می شود ، تابعی دوسویی است.
تعریف 8: اگر  و دو تابع باشند و اگر نگاره f زیر مجموعه ای از C باشد ، آنگاه می توانیم f و g را ترکیب کنیم به این نحو که "اول f را اعمال کنیم و سپس g  را " به بیان صوری ، تخت این فرضیات چون  را با ضابطه  تعریف می کنیم.
قضیه 1 : اگر  یک تابع باشد آنگاه
اثبات :واضح است
تعریف 9: فرض کنیم  یک تابع باشد.آنگاه تابعی چون  یک وارون چپ f نامیده می شود هرگاه به ازای هر  داشته باشیم ،  و هرگاه به ازای هر  ، داشته باشیم  ، g وارون راست خوانده می شود ، هرگاه g هم یک وارون چپ f و هم یک وارون راست f باشد آنگاه گوییم g وارون f است.
قبل از اینکه به بیان قضیه مهم شرط لازم وکافی وارون پذیری بپردازیم ، اصل بسیار مهم زیر را بیان می کنیم
اصل 1: (اصل موضوع انتخاب) اگرخانواده اندیس شده ای از مجموعه ها (با مجموعه اندیس گذار)

باشد آنگاه تابعی چون f وجود دارد که :

و به ازای هر

به عبارت دیگر ، به ازای هر ، f عضوی از  را "بر می گزیند".

درک شهودی این اصل دشوار است ولی نه صادق بودنش اصول 13 گانه دیگر مجموعه ها نقض می کند و نه نه عدم صادق بودن آن .
قضیه 2: تابع  دارای یک :

الف) وارون چپ است اگر و تنها اگر یک به یک باشد

ب) وارون راست است اگرو تناه اگر پوشا باشد

ج) وارون است اگر و تنها اگر دوسویی باشد

د) وارونهای قسمتهای اف و ب لزوما منحصر بفرد نیستند

ه) وارون قسمت ج منحصر بفرد نیست

اثبات: الف)

فرض کنیم f دارای وارون چپی چون g باشد و  آنگاه  ، بنابراین f یک به یک است.
اگر  و ، آنگاه تعریف می کنیم ، این a ، بنا بر یک به یک بودن f یکتاست.
اگر  و b در برد f نباشد آنگاه چنین a یی وجود ندارد، در آن صورت بنا بر اصل انتخاب a یی دلخواه از A انتخاب و را مساوی با a تعریف می کنیم . حال  به ازای هر  معین است و  یک تابع ، از طرفی طبق تعریف g داریم ، ، و لذا g یک وارون چپ است.
ب)
اگر f دارای وارونی راست مانند g باشد و اگر ، آنگاه  ، لذا این b به ازای  به صورت  است و بنابراین f پوشا به B است.
اگر f پوشا باشد و  آنگاه به ازای a یی از A ، که لزوما یکتا نیست ، داریم .به ازای هر ، بنا بر اصل انتخاب ، را یک عضو مشخص دلخواهی از A می گیریم که ، آنگاه g یک تابع و وارون راست f است.
ج) بنابر قسمت الف و ب واضح است.
د) تابع  با ضابطه  را در نظر بگیرید .تابع تعریفی یک به یک است زیرا اگر  آنگاه a-b=0 و در نتیجه a و b مساوی هستند.
بنابراین این تابع یک وارون چپ دارد که مثلا با ضایطه

تعریف می شود ، زیرا

بدیهی است که عدد دلخواه 15 فقط به این دلیل آمده است که  روی تمام  تعریف شود. می توانیم به جای 15 هر عدد دیگری انتخاب کنیم. پس وارون چپ یکتا نیست.

حال به مثال زیر توجه نمایید:

اگر  آنگاه f تابعی از  به  پوشا می باشد ولی یک به یک نیست . از طرفی توابع  و
هر دو وارونهای راست  f ولی با هم یکی نیستند ، از طرفی وارون چپ نمی باشند زیرا :

ه) اگر f دارای وارونهای  و  باشد آنگاه

یعنی وارون f یکتاست .

و حال دو تا سوال ۲۰۰۸ ی  که یکی جبری و دیگری در زمینه نظریه اعداد می باشد:

۱- نشان دهید به ازای اعداد صحیح و مثبت a و n ، وجود دارد b ی بطوریکه :


حل :
داریم

با استفاده از فرمول دو جمله ای داریم :


بنابراین

 و در اینجا حل مساله کامل است

2- نشان دهید که بر  بخش پذیر می باشد

حل :
و  نیز عدد اول می باشد. بنا بر قضیه کوچک فرما (بطوریکه pاول می باشد) داریم

واضح است که ،  و  و 8 و 251 نسبت بهم اولند ، بنابراین

و حل کامل است .

و در پایان نیز یک سوال جالب و زیبا که امیدوارم دوستان و ریاضی دوستان سوال را حل نمایند و به mail  ارسال نمایند تا در پست بعد عینا گزارده شود .

سوال :نشان دهید که دنباله   که  ، نزولی است

با تشکر از شما دوستان
بدرود