زیباییهای ریاضی - اعداد

درود به همه دوستان . امیدوارم همگی خوب و خوش و خرم باشید.

تصمیم دارم ازاین به بعد هر پنج شنبه – البته اگه فرصت کنم – وبلاگ رو به  روز کنم .فقط نکته ای که هست قصد دارم از این به بعد یه تغییراتی در محتویات وبلاگ بدم ، اونم اینکه برای اینکه مطالب عامه پسند باشه و همه دوستان بتونن استفاده کنن ، از اون حالت ریاضی فرمولی بیرون بیام و بیشتر مطالبی رو بنویسم که جنبه زیبایی و کاربردی داره .اون چیزهایی که ما در زندگی روزمره زیاد باهاشون برخورد میکنیم و همه از ریاضیات الهام گرفته اند. خوشحال میشم دوستان یاری کنن . امیدوارم همگی موفق باشید.

مطلبی رو که برای این پست انتخاب کردم در مورد شگفتی های اعداد هستن . البته اگه به وبلاگ ها و سایتهای ریاضی یه سر بزنین از این مدل مطالب زیاد می بینین ولی فکر کنم این مدلی رو ندیده باشین ، لااقل من یکی که به خیلی از سایت ها و وبلاگ های ریاضی سر زدم ندیدم .

میگن افلاطون از تماشای رابطه

سیر نمیشد ، و ساعات زیادی حیرت زده این رابطه رو نگاه میکرد.حالا ، اگه روابط زیر رو دیده بود چه میکرد !

اگرچه این گونه روابط هماهنگیها و زیباییهای خاص خودشو دارن ، و ممکنه مایه ی شکفتی اشخاص عادی یا مبتدی در تئوری اعداد باشند ، اینگونه زیبائها نیست که ریاضیدانها رو به این علم میکشد ، بلکه به قول گاوس در یکی از نامه هاش به سوفی ژرمن ، بانوی ریاضیدان و دانشمند فرانسوی :

« کمال زیبایی آنیتهای دلفریب این علم شریف عالی فقط بر کسانی آشکار می شود که جرات فرو رفتن در اعماق آن را دارند.»

بعد از نامه آقای گاوس بریم سراغ شگفتی بعدی !

بعضی از شگفتی هایی که در کتابهای ریاضی میان توجیهاشون دشواره و به وسیله ی قسمتهای پیشرفته تئوری اعداد انجام میگیره . از جمله رابطه جالب زیر : (به اعداد و تکرار اعداد در ارقام بعد از اعشار توجه کنید)

حالا بیایم بحث رو کمی تخصصی تر کنیم و به یه نتیجه جالب برسیم و بعد از اون هم یه شگفتی ساده و سپس یه سورپرایز!

اتحاد زیر رو در نظر بگیرین

به ازاء  نتیجه می شود

از اتحاد

روابطی از قبیل

و غیره حاصل می شود.

بالاخره ، از اتحاد

بازاء نتیجه می شود

و غیره .

عدد  خاصیت جالبی دارد. از رابطه ی نتیجه می شود ،

پس ، به ازاء ، عدد عددی است ۹ رقمی که همه ی ارقامش مساوی k است . اینک
 عدد20 رقمی را اختیار می کنیم . از رابطه ی

نتیجه می شود ،

مطلب بعدی که هم ساده و هم جالبه اینکه که ، چند نمونه ضربهایی که هریک از ارقام 1 تا 9 درست یک بار در آنها دیده می شود:

واما ضربهای زیر رو دقت کنید و بعد به ارقام و نمایش آنها !

یا

و

یا

حالا نظرتون در مورد این دو تا چیه !

یا

امیدوارم زیبائیهای ریاضی و شگفتی های آن براتون جالب بوده باشه . امیدوارم همیشه شاد و سربلند باشید. به امید دیدار

بدرود

 

یک پارادوکس و حل مساله

با درود خدمت دوستان عزیز

پس از ماهها فرصت پیدا کردم که دوباره وبلاگ رو به روز کنم آنهم به لطف یکی از دوستان که باعث شد که دوباره به وبلاگم سری بزنم و مطلب جدید بزارم . امیدوارم که مفید واقع شود. به امید روزهای خوش در زندگی .

ریاضیدانان قرن هفدهم و هجدهم درک کمی از سریهای نامتناهی داشتند. آنها اغلب ، در مورد اینگونه سریها ، اعمالی را بکار می بردند که در مورد سریهای متناهی صادق اند ، ولی در مود سریهای نامتناهی تنها تحت برخی محدودیت ها قابل اعمالند . بدون آگاهی از این محدودیت ها ، نتیجه آن شد که در کار با سریهای نامتناهی پارادکسهایی بوجود آیند. حال در اینجا دو نمونه از این پارادکس ها را بعنوان نمونه خدمت  شما عزیزان عرض می کنم.

۱- یک سری پر دردسر در روزهای اولیه حسابان سری متناوب زیر بود

...+۱-۱+۱-۱+۱-۱

و درباره مجموع S که باید به این سری اختصاص یابد ، بحث زیادی پیش آمد .نشان دهید که گروه بندی

...+(۱-۱)+(۱-۱)+(۱-۱)-(۱-۱)

منجر به ۰=S می شود ، و گروه بندی

...-(۱-۱)-(۱-۱)-(۱-۱)-۱

منجر به ۱=S .برخی چنین استدلال می کردند که چون مجموعه های ۰ و ۱ به یک اندازه محتمل هستند ، مجموع دو سری مقدار متوسط ۲/۱ است . حال ، نشان دهید که این مقدار را نیز می توان به یک روال کاملا صوری از گروه بندی زیر بدست آورد.

(...+۱-۱+۱-۱+۱-۱)-۱

۲- فرض کنید مجموع S سری همگرای زیر باشد

در این صورت

زیرا همه جمله ها بعد از جمله اول حذف می شوند . همچنین

چون همه جمله ها بعد از حذف می شوند . نتیجه می شود که 2/1 = 1 . بازهم حال ، چرا ؟

واما جواب مساله پست قبلی

حل :

به ازای   داریم

که نشان می دهد سری تابع  به طور یکتواخت در بازه همگراست .

می دانیم رابطه زیر برقرار است

بنابراین تعریف می کنیم :

حال نشان می دهیم

حال برای حالت  با استفاده از استدلال استقرایی مساله را در نظر می گیریم .

به ازای  مساله برقرار است.

فرض کنیم  ثابت و  . در این حالت داریم :

در نتیجه

بنابراین ، در اینجا اثبات کامل است.