یک سوال + یک جواب!!

سلام ، امیدوارم که همگی خوب و خوش و خرم و خوشحال باشید.
در این پست می خواهیم بدون مقدمه برویم سراغ سوال جدید و همچنین جواب سوال پست قبل .موفق باشید

سوال:

تمام های حقیقی را بیابید بطوریکه دستگاه زیر برقرار باشد:

منتظر جوابهای شما عزیزان هستم.با تشکر

واما جواب سوال از پست قبل :

 با توجه به مطلبی که از پست قبل بیان شد ، فرمول معروف و زیبای اویلر ()، چنین بیان می کنیم که:

از طرفی می دانیم :

در نتیجه

و در اینجا حل مساله کامل است.

نکته: لازم به توضیح می باشد که برای حل این مساله می توان از رابطه زیر نیز استفاده کرد

که در اینجا R شعاع دایره ای به مرکز مبدا می باشد و اگر آن را به بی نهایت میل دهیم

که از اینجا به بعد را می توان بنا بر رابطه فوق ادامه داد و به جواب رسید!!

با آرزوی موفقیت روز افزون !!

 

یک مطلب + یک سوال از انتگرال ها!!

با عرض سلام خدمت دوستان و ریاضی دوستان! امیدوارم که همگی شاد و خرم باشید.یکی از ریاضیدوستان در قسمت نظرات یک سوال از انتگرالها پرسیده اند (که به انتگرال فرنل معروف می باشد)، بنابراین ما نیز برای اینکه هم ایشان به جواب خود برسند و هم سوالی برای این پست باشد ، این انتگرال را در این پست به عنوان سوال قرار داده ام  و همچنین از یکی دیگر از ریاضیدوستان (آقا مصطفی) تشکر میکنم ، به خاطر حل سوال پست قبل که در اینجا جواب سوال پست قبل را در اینجا به روشی دیگر قرار میدهم. لازم به ذکر می باشد که ابتدا در این پست ، یه فرمول جالب و زیبا رو با یک روش بسیار ساده اثبات میکنیم و امیدوارم که به کار آید!!!!با آرزوی موفقیت روزافزون     سهیل یزدانی

 

یک مطلب:

ثابت میکنیم ،  .(فرمول زیبا و معروف اویلر)

اثبات : ابتدا ، با توجه به بسط تیلور ، توابع  را به ترتیب بسط میدهیم :

لازم به توضیح می باشد که توابع فوق در حول نقطه صفر بسط داده شده که به آن بسط مک لوران گفته میشود.برای اطلاعات بیشتر در مورد بسط تیلور عبارت روبرو را کلیک کنید         بسط تیلور

حال ، قرار میدهیم .( لازم به تذکر می باشد که i به عنوان مبنای اعداد مختلط تعریف میشود و )و در نتیجه :

و در اینجا اثبات کامل است .جالب است بدانید که زیباترین فرمول ریاضی نیز ، در حالتی که در فرمول فوق، باشد بدست می آید که برابر است با .
نکته دیگری هم که فکر میکنم جالب باشد اینکه ، با توجه به فرمول اویلر می توان توابع سینوسی و کسینوسی را بر حسب توابع لگاریتمی تعریف کرد ، یعنی :

امیدوارم که مطلب مفید واقع شده باشد.

سوال

و اما سوال این پست :

نشان دهید :

منتظر جوابهای شما دوستان هستم.

جواب :

خوب ، واما جواب انتگرال زیبا ، از پست قبل :

 دنباله های  را به صورت زیر تعریف می کنیم :

ابتدا به استقرا ثابت می کنیم که به ازای هر عدد طبیعی

پس حکم برقرار است. حال داریم :

(توجه کنید که انتگرال فوق به روش جزء به جزء حل شده است)
می دانیم که

از این رو داریم

با توجه به اینکه انتگرال طرف راست موجود است ، بنابراین :

پس  وقتی که .از طرف دیگر :

با تغییر متغیر  داریم :

از این رو

 
ودر نتیجه حل مساله کامل است.

با آرزوی موفقیت در تمامی مراحل زندگی!