يك سوال از رابطه ها + نظري اجمالي به سير تكاملي رياضيات!

سلام دوستان!
اميدوارم كه همگي خوب باشيد.
اين پست با پست هاي قبلي كمي تفاوت داره .به اين صورت كه تصميم دارم يك مقاله (تاريخ رياضي)هم در وبلاگ قرار بدم و در كنار اون يك سوال رياضي و همچنين پاسخ به دو سوال از پست قبلي .اميدوارم كه مفيد واقع بشه.

سوال:

تمام توابع را چنان بيابيد كه

منتظر جوابهاي شما عزيزان هستم.

واما....

جواب سوال ۱ از پست قبل:
در نظر ميگيريم ،،.آنگاه و

اين مجموع را با S نشان ميدهيم.با استفاده از نامساوي كوشي،

يا .از نامساوي حسابي- هندسي نتيجه ميشود كه

حالت تساوي فقط وقتي برقرار است كه x=y=z=1 ، كه معادل a=b=c=1 است.
و در اينجا حل مساله كامل است.

جواب سوال 2:
را محلهاي تماس دايره هاي محاطي مثلثهاي ABD و ACD با پاره خط AD ميگيريم .اگر نصف محيط مثلثهاي ABD وADC و ABC باشند آنگاه

(d,c,b,a به ترتيب اضلاع نظير C,B,A و ضلع AD هستند.)

زيرا در مثلث قائم الزاويه داريم

پس بر هم منطبق هستند و طبق رابطه فيثاغورث دو طرف تساوي خواسته شده برابرند با

و در اينجا حل مساله كامل است.

نظري اجمالي به سير تكاملي رياضيات

تعريف رياضيات:

تعريف اين علم برحسب وسعت دامنه آن و نيز بسط دامنه فکر رياضي تغيير کرده است چنانکه زماني آن را علم عدد ، زماني علم فضا ، گاه علم کميات و زماني علم مقادير متصل و منفصل خوانده اند ، اما رياضيات کنوني اگرچه از جهتي موضوع واحدي است ، مشتمل بر تئوريهايي است که هيچ يک از اين تفاوت ها را فرا نمي گيرد ، به همين جهت است که رياضيات کنوني را براساس روش آن ( يعني روش قياسي ) تعريف مي کنند نه بر حسب موضوع آن.

 

پيش از يونانيان بعضي از اقوام قديم ، مانند مصريها و بابليها در حل مسائل علمي ، بعضي اطلاعات از طريق تجربه بدست آورده بودند. رياضيات در اين زمان در واقع مجموعه پراکنده اي از اين گونه اطلاعات بود ، و حتي يک نمونه از چيزي شبيه استدلال منطقي در رياضيات ، پيش از يونانيان ديده نمي شود . با رشد فرهنگ يونانيان اطلاعات رياضي ، قدم به مرحله علمي گذاشت. از تحقيقاتي که در قرن بيستم به عمل آمده ، معلوم شده است که استفاده يونانيها از اطلاعات رياضي مصر و بابل به مراتب بيشتر از آنچه سابقا مي پنداشتند بوده است.

منتظر نظرات و پيشنهاد هاي شما عزيزان هستم.
مقاله بعدي : كمال در رياضيات

 

ادامه نوشته

يك سوال از نامساويها و يك سوال از هندسه+ الگوریتم RSA !

با عرض سلام خدمت دوستان
اميدوارم كه همگي خوب و خوش وخرم و خوشحال باشيد.

سوال(۱):

فرض كنيم a ، b ،c اعداد حقيقي باشند به طوري كه abc=1 .ثابت كنيد:

سوال(2):
مثلث قائم الزاويه داده شده است .اگر r شعاع دايره محاطي دروني آن باشد نقطه D را روي ضلع BC چنان در نظر ميگيريم گه BD=r .اگر  و مركزهاي دايره هاي محاطي دروني مثلثهاي ABD و ACD باشند ، ثابت كنيد:

منتظر جوابهاي شما عزيزان هستم.هرچند سوالات ساده مي باشند.

منتظر نظرات شما هستم

واما جوابهاي پست قبل ، كه سوال اون از 12 شهريور ماه است.اميدوارم به خاطر دير شدن جواب منو ببخشيد.

جواب سوال 1:

به هر جايگشت f از مجموعه S يك n تايي مرتب مانند نسبت مي دهيم.كه در آن براي هر  اگر ؛و  اگر .در اين صورت تعداد n تاييهاي مرتب نسبت داده شده به جايگشتهاي S كه k مختص آنها برابر 1 باشد مساوي با  است و بنابراين ،  برابر با 1 هايي است كه در تمام اين n تاييهاي مرتب ظاهر مي شوند. اما براي هر ، دقيقا جايگشت موجود است كه i را ثابت نگه مي دارند. بنابراين تعداد مختصهاي 1 كه در تمام اين n تاييهاي مرتب ظاهر مي شوند ، برابر است با در نتيجه

و در اينجا حل مساله كامل است.

جواب مساله 2:

و در اينجا حل مساله كامل است.

الگوريتم RSA

الگوریتم RSA پس از آنکه ران ریوست (Ron Rivest)، آدام شامیر (Adam Shamir) و لن ادلمن (Len Adleman) در سال ۱۹۷۷ آنرا بدست آوردند به این نام مشهور شد، هرچند تکنیک های اولیه آن پیشتر در سال ۱۹۷۳ توسط فردی بنام کلیفورد کوکس (Clifford Cocks) بدست آمده بود اما تا سال ۱۹۷۷ اولا” الگورتیم کاملا” محرمانه بود و ثانیا” به سادگی آنچه در زیر بیان خواهیم کرد نبود.

تهیه کلید های عمومی و خصوصی
بطور خلاصه روش کار برای تهیه کلیدها به شرح زیر است :

۱- دو عدد بزرگ (هر چه بزرگتر بهتر) اول به نام های p و q را انتخاب می کنیم، بهتر است این اعداد از لحاظ سایز نزدیک به یکدیگر باشند.

۲- عدد دیگری بنام n را معادل با حاصلضرب p در q تعریف می کنیم : n = p x q

۳- عدد چهارم یعنی m را معادل حاصلضرب p-۱ در q-۱ تعریف می کنیم : (m = (p-۱) x (q-۱

۴- عدد e را که از m کوچکتر است آنگونه پیدا می کنیم که بزرگترین مقسوم علیه مشترک این دو یک باشد به عبارتی نسبت به هم اول باشند.

۵- عددی مانند d را پیدا کنید که باقیمانده حاصلضرب d در e تقسیم بر m مساوی عدد ۱ باشد، یعنی : d x e) mod m = ۱)

حال پس از طی این مراحل شما می توانید از e و n بعنوان کلید عمومی و از d و n بعنوان کلید اختصاصی استفاده کنید.

روش پنهان کردن و آشکار کردن
برای کد کردن اطلاعات کافی است عدد منتصب به هر کاراکتر - مثلا” ASCII - را که در اینجا M می نامیم در فرمول زیر قرار دهید و بجای ارسال آن عدد C = Me mod n را ارسال کنید. در واقع دراینجا شما توانسته اید با کمک کلید عمومی، کاراکتر M را به C تبدیل کنید.

حال گیرنده برای آشکار سازی کافی است عدد دریافتی یعنی C را با استفاده از کلید خصوصی به M تبدیل کند. برای اینکار کافی است از این فرمول استفاده کنید : M = Cd mod n ، بنابراین شما با دریافت کاراکتر کد شده C و در دست داشتن کلید خصوصی توانسته اید کاراکتر اصلی را مشخص نمایید.

یک مثال:

با توجه به روشی که در مطلب قبل ارائه کردیم در اینجا بعنوان نمونه مثالی از نحوه تعریف کلید های عمومی و خصوصی خواهیم آورد. اما برای سادگی محاسبات از اختیار کردن اعداد بزرگ دوری خواهیم

کرد و توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که هرچقدر اعداد اولیه بزرگتر باشند احتمال شکستن رمز در مدت زمان محدود ناچیزتر می شود.

۱- ابتدا باید دو عدد اول بزرگ انتخاب کنیم که در اینجا از اعداد ساده و هم اندازه ای مانند ۱۱ و ۳ استفاده می کنیم. پس p=۱۱ , q=۳

۲- حاصلضرب p در q که همان n است را به اینصورت خواهیم داشت : n = ۱۱ x ۳ = ۳۳

۳- حاصلضرب p-۱ در q-۱ که همان m است را به اینصورت خواهیم داشت : m = ۱۰ x ۲ = ۲۰

۴- برای انتخاب عدد e که نسبت به m=۲۰ اول باشد و کمتر از آن هم باشد ساده ترین گزینه یعنی عدد ۳ را انتخاب می کنیم.

۵- برای یافتن عدد d که در رابطه d x e) mod m = ۱) صادق باشد اعداد ۱,۲,۳,۴,۵ و … را امتحان می کنیم، بنظر می رسد که عدد ۷ برای اینکار مناسب باشد چرا که ۷×۳=۲۱ باقیمانده ای معادل

۱ بر m=۲۰ دارد.

حال می توانیم از زوج (۳۳,۳) بعنوان کلید عمومی و از زوج (۳۳,۷) بعنوان کلید خصوصی استفاده کنیم. حال اگر از فرمول هایی که در مطلب قبل برای کد کردن و آشکار سازی استفاده کنیم برای اعداد ۱

تا ۳۲ به جدول زیر خواهیم رسید.

بنابراین هم اکنون شما یک جدول تبدیل کد دارید که با کمک کلید عمومی اعداد صفر تا ۳۲ را به اعدادی کد شده و در همین رنج تبدیل کرده اید. اما اگر دقت کنید تعدادی از اعداد دقیقا” به همان عدد خود تبدیل

شده اند که به اینها unconcealed یا مخفی نشده گفته می شود. اولآ باید بدانیم که ۰ و ۱ همواره به همین اعداد تبدیل می شوند و مطلب دیگر اینکه اگر رنج دو عدد اول ابتدایی را بزرگ در نظر بگیریم

دیگر مشکلی پیش نخواهد آمد.

حال کافی است فرض کنیم A=۲ ، B=۳ ، C=۴ و … Z=۲۷ و جملات مربوطه را کد نماییم. دقت کنید که معمولا” از ۰ و ۱ برای کدینگ استفاده نمی شود.

منتظر نظرات شما عزيزان هستم.