بیان و اثبات قضیه ویلسون+یک سوال از مثلثات!!
قضیه ویلسون
نشان دهید ،به ازای هر عدد اول 
داریم 
اثبات :ابتدا ثابت می کنیم به ازای هر عدد صحیح a ، با شرط 
، عدد یکتای 
وجود دارد به طوری که 
. برای اثبات این مطلب دسته اعداد زیر را در نظر می گیریم .
واضح است که هیچ کدام از اعضای مجموعه بالا بر p بخشپذیر نیستند و همچنین هیچ دو عضوی از آن به هنگ p همنهشت نیستند .بنابراین مجموعه 
عضوی بالا به هنگ p ، زیر مجموعه عضوی
باشد. بنابراین باید این دو مجموعه به هنگ p با هم برابر باشند. از این رو عدد 1 در مجموعه مفروض ظاهر شده است. (به عدد ، عکس حسابی عدد a گویند.)
واضح است که عکس حسابی اعداد 1، خودشان هستند ، بنابراین مجموعه 
را می توان به دو مجموعه 
و 
طوری تقسیم کرد که 
در نتیجه 
و در اینجا اثبات کامل است.
سوال
و اما سوال جدید..
نشان دهید که 
سوال راحتی است ، منتظر جوابهای شما عزیزان هستم.
جواب سوال از پست قبل.
حل:
برای حل این انتگرال ابتدا ، برای اینکه رادیکال را حذف کنیم قرار می دهیم (تغییر متغیر)
. بنابراین داریم 
حال ،I را معادل انتگرال زیر قرار می دهیم یعنی 
حال ، عبارت درجه چهاری که در مخرج کسر قرار دارد را می توان به صورت حاصلضرب دوعبارت درجه دو نشان داد. در نتیجه 
از این رو ،
که کسر انتگرالده را می توانیم به صورت کسرهای جزیی تجزیه کنیم .یعنی 
در نتیجه،
برای دو عبارت آخر می توانیم از فرمول استانده زیر استفاده کنیم 
که بدست می آوریم 
از آنجاییکه 
از اینرو،
و از این جهت 
بنابراین 
و از آنجاییکه 
، پس 
و در اینجا حل انتگرال کامل است. امیدوارم که لذت برده باشید.
ریاضیات علم آموختن اندیشیدن است نه آموختن اندیشه ها!