روش حل معادله + سه مساله

درود فراوان به تمامي دوستان

چند روز پيش داشتم به کتاب تئوري مقدماتي اعداد نوشته مرحوم زنده ياد دکتر غلامحسين مصاحب نگاه ميکردم که در باب حل معادله و معادلات مطلب جالبي رو ديدم .

معادله زير رو در نظر بگيريد

اين معادله در کتاب جبر و مقابله از خوارزمي آمده است . اين معادله ، معادله ساده اي هست که به راحتي قابل حل مي باشد . حال ، حل اين معادله رو به روش محمد بن موسي خوارزمي دانشمند و رياضيدان قرن سوم هجري بخوانيد .البته صورت مساله هم به اين صورت که در بالا نوشتيم نبوده بلکه بدين صورت بوده است :

« عددي تعيين کنيد که حاصلضرب مجموع ثلثش با 1 در مجموع ربعش با 2 مساوي باشد با آن عدد بعلاوه ي سيزده ».

قبل از خوندن روش حل اين معادله لازم به ذکر مي باشد که رياضيون دوره اسلامي جمله معلوم معادله را عدد ، مجهول را شي ، و مربع مجهول را مال مي ناميدند.

« اگر گفته شود کدام عدد است که چون ثلث آن و يک در ربع آن و دو ضرب شود آن عدد بعلاوه ي سيزده بدست آيد طريق آن اينست که ثلث شي را در ربع آن ضرب کني نصف سدس مال ميشود و دو را در ثلث شي ضرب کني تا دو ثلث شي شود و يک را در ربع شي ضرب کني تا ربع شي حاصل شود و دو را در يک ضرب کني تا دو شود پس حاصل نصف سدس مال و دو عدد و يازده جزء از دوازده جزء شي ميشود که معادل است با شي بعلاوه ي سيزده عدد پس دو از سيزده بينداز يازده ميشود و يازده جزء از شي بينداز باقي مي ماند نصف سدس شي و يازده که بايد با نصف سدس مال معادل باشد مال را کامل کن به اين طريق که آن را در دوازده ضرب کني و دگر چيزهايي را که داراي در دوازده ضرب کني مال معادل ميشود با صد و سي و دو و شي قاعده ي آن اينست که شي را نصف کني ميشود يک نصف پس آن را در خودش ضرب کن ميشود يک ربع آن را به صد و سي و دو اضافه کن ميشود صد و سي و دو و يک ربع . جذر اين را بگير ميشود يازده و يک نصف آن را به نصف شي که يک نصف است بيفزا ميشود دوازده و آن عدد مطلوب است » .

ظاهرا رياضيدانان قديم استاد خوبي در نوشتن و تشريح مطالب و مسائل بودند . نکته اي که در اينجا وجود داره اينکه جوابهاي معادله نامبرده فوق 11 و 12- هستند که با توجه به اينکه اون زمان هنوز اعداد منفي شناخته نشده بودند آقاي خوارزمي جواب معادله رو فقط 11 بدست آورده بود .

واما سوالات جديد ...

سوال 1 – در شکل زیر مقدار x را بدست آورديد .

 

سوال 2 – اگر جمعيت يک شهر در هر سال به اندازه   اضافه شود ، پس از چند سال جمعيت آن دو برابر مي شود

سوال 3 – اتاقي است که طول آن 30 متر ، عرض آن 12 متر و ارتفاع آن هم 12 متر است . روي خط قائمي که از وسط يکي از ديوارهاي کوچکتر گذشته است و به فاصله يک متر از سقف ، عنکبوتي واقع است . روي عمودي که از وسط ديوار مقابل گذشته است و به فاصله يک متر از کف اتاق مگسي قرار دارد . عنکبوت ، مگس را که از ترس نيمه جان شده بود و حتي تلاشي هم براي نجات خود نکرد ، دستگير کرد . مي خواهيم کوتاهترين راهي را که عنکبوت براي رسيدن به شکار خود مي تواند انتخاب کند ، پيدا کنيم .

واما پاسخ سوالات پست قبل . لازم ميدونم از دوستاني که زحمت کشيدن و مساله ها رو حل کردن تشکر کنم .

جواب سوال 1 – قبل از ارائه راه حل براي اين مساله لازم به توضيح که يکي از دوستان پاسخ صحيح اين مساله را ارائه کردند و در اينجا راه حل رو مي توانيد ببينيد.

فرض کنيم ، گربه در نقطه A و موش در نقطه C باشد ، AB ديوار قائم ، BC فاصله موش تا ديوار روي خط افقي و O نقطه اي باشد که در آنجا گربه توانسته است موش را بگيرد . در اينصورت OC=OA . نقطه O ، که بايد آنرا پيدا کنيم ، مرکز دايره اي است که از نقطه هاي A و C عبور مي کند .

D را نقطه اي مي گيريم که در آنجا دايره خط BC را قطع مي کند .

 مثلث CAD ، که محاط در نيمدايره مي باشد ، در زاويه A قائمه است . در مثلث قائم الزاويه ارتفاع وارد بر وتر واسطه هندسي است بين دو قطعه وتر  ، يعني

 

در نتيجه

از آنجا ، 10 = 8  +  2  = DC و 5  =  OC   و 3  =  OB

بنابراين گربه در نقطه اي که به فاصله 3 متر از ديوار است ، موش را مي گيرد . و حل مساله کامل است .

جواب سوال 2 – براي حل اين مساله بايد به بعضي ملاحظه ها که به طور پنهاني در آن وجود دارد توجه کنيم .

براي سهولت در حل مساله ، به زبان عادي مرحله به مرحله را در نظر ميگيريم و به زبان جبري بيان ميکنيم .

الف ) تاجر سرمايه اي دارد

ب) که در سال 100 دلار آنرا خرج مي کند

 

ج ) به باقيمانده پولش ، یک سوم آن اضافه مي شود

د) در سال دوم ، دوباره 100 دلار خرج مي کند

ه ) به باقيمانده ، يک سوم آن ، اضافه مي شود

 

و) در سال سوم ، باز هم ، 100 دلار خرج مي کند

ح) و به باقيمانده ، يک سوم آن اضافه مي شود

 

بنابراين حل مساله ، منجر به حل اين معادله مي شود

بنابراين

در نتيجه  يعني سرمايه تاجر در ابتدا 1480 دلار بوده و حل مساله کامل است .

جواب سوال 3 – اين مساله از اون نوع مسائلي هست که در ظاهر شايد سخت باشه ولي اگر به روابط مثلثاتي آشنايي داشته باشيم و کمي تمرکز به راحتي قابل حل خواهد بود .

مي دانيم

بنابراين

به روش مشابه خواهيم داشت

با استفاده از رابطه

مي توان نوشت

 

يا به عبارتي

 

که با محاسبه   مقدار دقيق بدست خواهد آمد و حل مساله کامل است .

جواب سوال 4 – اولين کارگاه خودکار در ساعت 8 شروع بکار کرده است . و 15 کارگاه بقيه هر يک بفاصله  ساعت ، بنابراين همه کارگاهها بعد از نيم ساعت کار را شروع کرده اند.

کار 16 کارگاه در 5/6 ساعت چنين مي شود

و براي محاسبه محصول کارگاهها در فاصله نيم ساعت اوليه ، از تصاعد حسابي استفاده مي کنيم :

که بنا به مفروضات مساله داريم  در نتيجه

 

و بنابراين جواب کل برابر است با 108 متر و حل مساله کامل است .

جواب سوال 5 – فرض کنيد تعداد افرادي که با هر دو نفر دست مي دهند n باشد . شخص a را در نظر بگيريد ، فرض کنيد

{افرادي که با a دست داده اند } = B

 {افرادي که با a دست نداده اند } = C

مي دانيم

اگر  باشد ، افرادي که هم با a و هم با b دست مي دهند در B هستند ، پس b با n نفر در B دست مي دهد و با  نفر در C .

اگر  باشد همه افرادي که هم با a و هم با c دست مي دهند در B هستند پس c با n نفر در B دست مي دهد .

پس در مجموع تعداد دست دادنهاي بين B و C رابطه زير را نتيجه مي دهد .

حال براي  داريم   و 4m صحيح نخواهد بود. و براي  ، فقط براي 3 = k جواب صحيح داريم ، پس 36 نفر در ميهماني بوده اند . و جواب کامل است.

شاد باشید.

5 مساله جدید و حل سوالات قبل

با درود فراوان به تمامي دوستان مهربان .

از تمامي دوستاني که اومدن و لطف کردن و به سوالات پاسخ دادند واقعا کمال تشکر رو دارم . و همچنين از دوستاني که به وبلاگ سر زدند و نظرات خودشون رو ابراز داشتند هم سپاسگزارم .

براي پست اين هفته ابتدا برخي از سوالاتي که مربوط به پست قبل بود رو با هم حل ميکنيم ، البته با اجازه از دوستاني که به سوالات پاسخ دادن ، فقط روشهاي حل رو ميزارم و بعد از اون هم 5 سوال جديد . خوشحال ميشم با نظراتتون در جهت رفع عيوب راهنمايي کنيد.فقط خواهشي که از دوستان دارم سعي کنند سوالات رو همراه با روش حل جواب بدهند اگر هم امکان درج در قسمت نظرات نيست ميتونند ايميل کنند تا جواب رو عينا در پست قرار بدهم .

واما سوالات جديد ...

سوال 1- گربه اي از ديواري  به ارتفاع 4 متر بالا رفت و از آنجا متوجه موشي شد که در 8 متري پاي ديوار بود . موش هم متوجه گربه شد و به سرعت به طرف پناهگاه خود که در زير پي ديوار بود دويد . گربه از روي ديوار به پايين پريد و به اندازه راهي که موش روي زمين رفته بود ، در هوا طي کرد و موفق شد موش را بگيرد . در چه نقطه اي گربه موش را گرفت ؟ گربه چه مسافتي و موش چه مسافتي را طي کرد ؟

سوال 2 – شخصي ، هر سال به سرمايه اش ، به اندازه يک سوم آن ، اضافه مي کند ، ولي 100 دلار از آن را ، براي مخارج خانواده بر مي دارد. بعد از 3 سال ، معلوم شد ، سرمايه او دو برابر شذه است . مي خواهيم بدانيم ،در ابتدا چقدر پول داشته است ؟

سوال 3 – مطلوب است محاسبه عبارت

سوال 4 – شخصي 16 کارگاه خودکار نساجي را اداره مي کند . توليد هر کارگاه m متر در ساعت است . در ساعت 8 (شروع کار روزانه) کارگاه اول را بکار مي اندازد و هر يک از کارگاههاي بعدي را به فواصل 2 دقيقه به 2 دقيقه . پس از 7 ساعت کار محصول کار کارگاهها چقدر است ؟(بر حسب متر)

سوال ۵ -نفر در يک ميهماني شرکت کرده اند . هر نفر دقيقا با  نفر ديگر از ميهمانان دست مي دهد . همچنين مي دانيم تعداد افرادي که با هر دو نفر دست مي هند ، عددي ثابت است . تعداد افراد شرکت کننده در اين ميهماني را تعيي کنيد .

در مورد جواب سوالات مربوط به پست خدمت دوستان گلم بايد عرض کنم که 3 تا سوال آخر رو بطور کامل حل ميکنم اگر کسي در مورد حل ديگر مسائل سوالي داشت ، حتما در ادامه همين پست پاسخ خواهم داد . 

 

جواب سوال 8 – مبحث انتگرالها به نظر من يکي از شيرين ترين و جذاب ترين مباحث در رياضي مي باشد . من خودم شخصا علاقه زيادي به اين بحث دارم . واما جواب اين انتگرال

با يک نگاه کلي به اين انتگرال به ظاهر ساده متوجه ميشيم که محاسبه به همين راحتي هم نيست . خوب براي شروع براي اينکه که راديکال رو حذف کرده باشيم بدين روش عمل ميکنيم ، قرار ميدهيم

بنابراين داريم

حال ، I را معادل انتگرال زير قرار ميدهيم يعني

 

عبارت درجه چهار  که در مخرج کسر قرار دارد را مي توان به صورت حاصلضرب دو عبارت درجه دو نوشت

 

بنابراين

که کسر انتگرال را مي توان به صورت کسرهاي جزيي تجزيه کنيم يعني

در نتیجه ،

که دو عبارت اخر را مي توان از فرمول زير استفاده کنيم

که با استفاده از فرمول بالا خواهيم داشت

و از آنجاییکه

و از این جهت

در نتیجه

از آنجاییکه ، بنابراین

و در اينجا حل مساله کامل است.

جواب سوال 7 – از رابطه اول داريم

ولی

بنابراين عبارت بالا وقتي و فقط وقتي صفر است که

که با توجه به مثبت بودن غير ممکن است . پس داريم

و بنابراين يعني . پس و بنابراين

و جواب مساله کامل است .

واما جواب سوال 6 – پيرو شکل مفروض شده در صورت مساله شکل زير را خواهيم داشت

بنابراين

عمود منصف BC را رسم مي کنيم تا AB را در F قطع کند . آنگاه دو مثلث ODF و DOE برابرند (ز ض ز) و مثلث BOD متساوي الساقين است ، پس اگر BF=BE=k و BC=a باشد داريم ،

و

  و 

حال در مثلث BFCمي گوييم

و در مثلث EBC داريم

به همين ترتيب براي K>a نيز تناقض مشابهي حاصل مي شود ، بنابراين زاويه  x برابر 50 درجه مي شود . و حل مساله کامل است .

 

شاد باشيد

 

یک پارادکس + دنباله فیبوناچی + مساله

با درود فراوان خدمت تمامی دوستان و ریاضی دوستان .

اگر به مطالب ریاضی علاقمند باشید حتما در بین وبلاگهای ریاضی از برخی از اونها دیدن کردید. برخی از اونها واقعا مطالب خوبی دارند . و یه چیز جالب هم که در برخی از اونها وجود داره اینکه اگه یکی از وبلاگها یه مطلب جدید و جالبی بزاره اون رو پس از یه مدتی توی خیلی از وبلاگها میتونی مشاهده کنی . مطلبی که امروز میخوام در موردش بنویسم و توضیح بدم دقیقا یکی از همون مطالبه . یکی از اون دسته پارادکس هایی که در چند پست قبل در موردش نوشته بودم پارادوکس در هندسه . قبل از اینکه بخوام توضیحی بدم اول به این دو شکل زیر دقت کنید :

همانطور که در اشکال بالا مشاهده میکنید مستطیلی به عرض 5 و طول 13 داریم و مربعی با طول و عرضی برابر یعنی 8  . اگر کمی دقت کنید با توجه به برشهایی که در مربع ایجاد شده ، این برشها را می توان جابجاکرده و به صورتی دیگر کنار هم قرار دهیم و به شکل  مستطیل میرسیم . تا اینجا کار مشکلی وجود ندارد!!!!

مشکل از اونجایی شورع میشه که می بینید  مساحت مربع برابر است با 64 ، و مساحت مستطیل برابر است با 65 !!!!!!!!

در حالیکه جهت تغییر شکل مربع به مستطیل از نظر مساحت هیچگونه تغییری انجام ندادیم بلکه با چند برش ساده مربع را به مستطیل تبدیل کردیم . مشکل کار کجاست ؟

این مساله یکی از حیله های هندسه می باشد . برای حل این پارادکس لازم میدونم توضیحاتی رو ارائه کنم .

در ریاضیات مبحثی وجود دارد بنام دنباله اعداد . اگر بخوام خیلی عامیانه بیان کنم می توان گفت دنباله ، رشته ای از اعداد هستند که با یه رویه مشخص بوجود می آیند و در کنار هم قرار میگیرند . البته در مجموعه اعداد طبیعی . یکی از معروفترین دنباله ها ، دنباله فیبوناچی می باشد . در سال 1202 میلادی لئونارد فیبوناچی  به دنباله ای از اعداد دست یافت که از صفر و یک شروع می شود و جمله ای با جمله قبل خود جمع میشود و عدد بعدی بوجود می آید :

... ،144 ، 89 ، 55 ، 34 ، 21 ، 13 ، 8 ، 5 ،3 ، 2 ، 1 ، 1 ، 0

که یافتن این اعداد هم داستان جالبی دارد که خارج از بحث ما می باشد . نکته جالب دیگری که در این دنباله وجود دارد این است که از نسبت دو جمله پیاپی به عدد زیبای طلایی نزدیک میشویم . یعنی اگر جمله 13 که عدد 144 باشد را بر جمله 12 که عدد 89 هست تقسیم کنیم عدد 61/1 را خواهیم داشت که این همان عدد طلائیست . و هر چه در دنباله فیبوناچی پیش بریم و این نسبت را اتجام دهیم به عدد طلایی نزدیک تر خواهیم شد .

برای حل مساله پارادکسمان این مقدمات لازم بود و حالا حل پارادوکس .

اگر دنباله فیبوناچی رو با نماد  نمایش دهیم بطوریکه F نماد دنباله و حرف n (اندیس)تعداد جملات دنباله باشد بطوریکه ، دنباله فیبوناچی را میتوان بصورت زیر نوشت :

قصد این رو ندارم بحثمون رو خیلی تخصصی کنم ولی برای توضیح پارادکس اینا لازمه کارمون هست .

خوب ، از فرمولی که دنباله فیبوناچی تعریف کردیم میتوان فرمول زیر را استخراج کرد که به اتحاد سیمسن معروف می باشد

 

حال ،  در اتحاد سیمسن به ازای  خواهیم داشت

یعنی در شکل پارادکس بالا یک مربع اضافه خواهیم داشت که در اتحاد سیمسن به ازای 5 به آن رسیدیم .

بطور کلی ، با هر مربعی که طول ضلعش یک عدد فیبوناچی (مانند مثال ما در شکل فوق یعنی عدد 8 ) باشد میتوان چنین حیله ای را ترتیب داد  . اگر به شکلهای زیر دقت کنید ، حالت کلی این پارادکس را در حالتیکه جمله انتخابی دنباله فیبوناچی (اندیس) عددی زوج باشد سطح مربع یک واحد از سطح مستطیل کمتر خواهد بود .

در شکل فوق قسمت مشکی رنگ که به شکل یه متوازی الاضلاع می باشد ، (قسمت اضافی) بنا بر اتحاد سیمسن برابر 1 خواهد بود بطوریکه

 و بنابراین حل مساله کامل است .

نکته : لازم به ذکر می باشد در حالتیکه جمله انتخابی دنباله فیبوناچی اعداد فرد باشد مساله دقیقا حالت عکس به خودش میگیرد یعنی مساحت مربع یک واحد بیشتر از مساحت مستطیل خواهد بود.

واما چند تا مساله ریاضی برای دوستانی که علاقمند به حل مساله ریاضی هستند .

سوال 1 – می خواهیم عدد 100 را دوبار طوری تقسیم کنیم که قسمت بزرگتر تقسیم اول ، دو برابر قسمت کوچکتر تقسیم دوم و قسمت بزرگتر تقسیم دوم ، سه برابر قسمت کوچکتر تقسیم اول باشد .

سوال 2 – الاغ و قاطر ، با بار سنگینی که بر پشت خود داشتند ، پهلو به پهلوی هم راه می رفتند . الاغ از بار بی اندازه سنگین خود شکوه می کرد . قاطر به او گفت : تو چرا گله داری ؟ اگر من یک کیسه از تو بگیرم ، بار من درست دو برابر تو خواهد شد ، در حالیکه اگر تو یک کیسه از من بگیری ، آنوقت بارهایمان برابر خواهد شد .

الاغ و  قاطر ، هر کدام ، چند کیسه بار پشت خود دارند ؟

سوال 3 – سه عدد طوری پیدا کنید که هم مجموع آنها و هم هر کدام از مجموع های دوبه دوی آنها ، مجذور کامل باشد.

سوال 4- در یک سبد 9 سیب بزرگ زیبا وجود دارد . می خواهیم این سیبها را بین 9 دختر تقسیم کنیم ، طوری که به هر نفر یک سیب برسد و یک سیب هم در سبد باقی بماند؟

و اما ادامه سوالات ..

سوال ۵ - در ایستگاه 18 واگون است که رویهم 500 تن زغال حمل می کنند . ظرفیت یک واگون 15 ، 20 و یا 30 تن است . چند تا از واگونها 15 تنی ، چند تا 20 تنی و چند تا 30 تنی هستند؟

سوال ۶ -  در شکل زیر O  مرکز دایره است . زاویه X چند درجه است .

سوال 7 – اعداد صحیح و مثبت  را چنان تعیین کنید که داشته باشیم

یکي از دوستان برام این سوال رو ايميل کرده .گفتم بد نيست تا پنجشنبه سوالش اينجا باشه اگه حل نشد واسه پست بعدي جوابشو بزارم.

سوال ۸- انتگرال نامعين زير را بدست آوريد.

شاد باشید.

 

حکیم عمر خیام

با درود فراوان به تمامی دوستان گرامی 

برای تنوع هم که شده بد نیست آدم گهگاهی از فضای ریاضی بیرون بیاد و به دنیای شعر و ادب پارسی سرک بکشه . مطلبی که برای این پست انتخاب کردم در مورد ریاضیدان ، منجم ، فیلسوف و شاعر بزرگ ایران زمین حکیم عمر خیام هست . با توجه به اینکه خیام در علوم مختلفی کار کرده و تبحر داشته و کشفیاتی نیز از او به ثبت رسیده ، برای انتخاب موضوع کار سختی نیست . می توان در مورد اکتشافات حکیم در ریاضیات نوشت یا در نجوم و همچنین در شعر و ادبیات . بخصوص که رباعیات عمر خیام شهرت جهانی دارد و کتابیست پارسی زبان که به بیشترین زبان زنده دنیا ترجمه شده است . متاسفانه در کشور ما خیلی شخصیت و آثار حکیم خوب شناسانده نشده است و من خود به شخصه کمتر کسی را دیده ام که رباعیات خیام را بخواند . شاید یکی از دلایل عمده آن فرهنگ جامعه ما باشد که با توجه به مضمون اشعار خیلی مورد پسند نباشد . بهر حال این توضیح بسیار مختصر و مفیدی بود در مورد این حکیم بزرگ نیشابوری . از بین موضوعات که در مورد خیام مطرح هست ، برای این پست " انکار در اشعار خیام " رو انتخاب کردم . امیدوارم سودمند واقع شود .

به جرات می توان گفت خیام یکی از شاعران و دانشمندان ایرانیست که تفکر و اندیشه ای آزادنه داشته . خیام از آن کسانیست که خود را مرکز جریانات زمان و اندیشه های عصر خود دانسته و سعی کرده بایستد و معتقد فکر به خصوصی نشود . جنگ کردن با اعتقادها و پندارهای مردم هر عصر جنگ وحشتناکی است و هرکس به این نبرد دست زند هم شکست می خورد و هم در آن شکست زنده جاودان می شود .

پرسش های خیام غالبا متفکرانه ، طنزآلود و شک آمیز است . این پرسش ها و مطرح کردن بعضی مسائل نشان می دهد که رندی و آزادگی به منزله نقطه مرکزی اندیشه اوست .

نکته ای دیگری که در اشعار خیام دستگیرمان می شود توجه به زندگانی و نیروهای آن است . می دانیم که مردم ایران دارای روانی شاد و خواستار و دوستدار جشن ها و بزمها بوده و در سرتاسر سال بزمها و مجلس های عیش افروز فراوان داشتند ولی تسلط اعراب بر این سرزمین این شعله های فروزان را خاموش کرد .

جشن های بهمن جه ، سده ، نوروز ، مهرگان و صدها جشن دیگر موقوف شد . حکمرانان اعراب که در صدد بهره برداری از منابع طبیعی و انسانی این سرزمین بودند از هر گونه ایرانی گری و ایرانی بودن به شدت جلوگیری می کردند و ایران دوستان را پاداش غل و زنجیر می بخشیدند و حتی مانع برافروختن آتش در خانواده میشدند .

تسلط چند قرن اعراب بر ایران ، روان پرشور این ملت را خفه و خاموش نکرد و از میان این ملت کسانی چون مازیار ، بابک خرم دین و ... برخاسته و پرچم آزادگی را به دوش گرفتند هرچند مبارزه های این افراد به ناکامی همراه میشد ولی باز مردم از تلاش و کوشش دست نکشیدند .

نیرویی عظیم تر از نبرد مازیار و بابک و سایرین در عرصه اندیشه و شعر و ادب ، بین ایران و عرب درگرفت و ملت ما به طور شگفت آوری در معنا کلمه بر قوم عرب ستمگر پیروز شد و حتی برای دستور زبان و طرز اندیشه و فهم اعراب کتاب نوشتند . از این نظر خیام یکی از نمایندگان برجسته این ایستادگی و اندیشمندان ایرانیان در آن دوره تاریک می باشد .

مبارزه به فکر عرب همانطور که اشاره شد از دو سو بوده . راه اول مبارزه های اجتماعی و راه دوم مبارزه با عقاید و مبانی اصول فکری انان بوده . مثلا اعراب تمام قضایای جهان را به طور دستوری حل نشده فرض می کردند . آسمان هفت طبقه داشت ، جن وجود آتشی است ، انسان وجود خاکی است ، اعتقاد به سرای دیگر و تصور اینکه جهان ما جهان عرضی است و جهان جای ماندن نیس و ... . ولی خیام به طریق خاص خویش این نوع فکر را رد نمود و دلایل محکمی بر این رد و انکار ارائه نمود :

گویند : بهشت و حور و عین خواهد بود                         آنجا می ناب و انگین خواهد بود

گر ما می و معشوق گزیدیم چه باک                              آخر نه به عاقبت همین خواهد بود

بعد نیست در همین زمینه شعری از خواجه شوریده شیراز مناسب با این موضوع داشته باشیم :

ز میوه های بهشتی چه ذوق برگیرد                     کسی که سیب زنخدان شاهدی نگزید

در پایان این مطلب لازم به توضیح این مطلب نیز می شوم که یکی از دلایل اصلی بوجود آمدن تصوف و عرفان در ایران دقیقا همین مساله حمله اعراب به ایران زمین بود . پس از آنکه اعراب به ایران حمله می کنند ، ایرانیان که مردمی شاد و خوشگذران بودند ، بعد از آنهمه جنگ و خونریزی ، انسانهایی گوشه گیر و خاموشی شدند . که این مقدمه ای شد برای ریاضت و چله نشینی . که پس از آن این رویه تکامل یافت و تبدیل به فرقه و گروه های مختلفی از این دست شد .

به امید ایرانی شاد و آباد

البته این موضوع ادامه دارد و در صورت استقبال دوستان از این موضوع ، در مورد این حکیم بزرگ نیشابور بیشتر خواهم نوشت .

واما پاسخ سوال پست قبلی

با توجه به صورت مساله ، بدین صورت باید در نظر گرفت که از انجاکه دو پرنده با سرعت ثابت و در یک زمان ثابت به فواره رسیدند ، با توجه به اولین درس فیزیک مکانیک یعنی  با فرض اینکه v سرعت و t مدت زمان طی کردن مسیر باشد نتیجه می گیریم که انداره AE برابراست با CE بنابراین بنا به رابطه فیثاغورس داریم

و همچنین

بنابراین

بنابراین فاصله دو برج از یکدیگر به ترتیب برابر است با 18 و 32 متر و حل مساله کامل است .

یک سرگرمی تاریخی و یک سوال !

درود و فراوان درود بی پایان به تمامی دوستان مهربان

امیدوارم همگی شاد و خوش و خرم باشید . باز هم یه پنچشنبه دیگه و یه مطلب جدید . قصد دارم واسه این هفته علاوه بر اینکه یه مساله ریاضی ،  یه مطلب ریاضی هم بزارم . البته این مطلبی که میخوام بزارم هم جنبه کاربردی داره ، هم سرگرمی و هم تاریخی . یکی از دوستان خیلی عزیز پیشنهاد دادند مطلب تاریخی ریاضی بزارم ، منم گفتم به چشم و تصمیم دارم این مطلب رو بزارم. خیلی دوست داشتم پیرو پیشنهاد دوستان مطلب غیر ریاضی هم میزاشتم ولی حتما و حتما واسه هفته آینده یک مطلب غیر ریاضی میزارم. فقط فرقی که نوشتن مطلب غیر ریاضی با مطلب ریاضی داره در اینکه آدم نیاز به تمرکز داره و باید وقت بزاره تا یه مطلب بنویسه ، اونم اگه خوب باشه !!! به هرحال از نظرات همه دوستان تشکر میکنم و از همه مهمتر تشکر مخصوص از دوستانی (دوستی ) که به سوالات پاسخ دادند

واما برج هانوی (Hanoi Tower)

همانطور که از اسم این بازی یا سرگرمی مشخصه به نظر میرسه که نام یک مکانی بوده که گویا از پایتخت ویتنام منشا گرفته شده است . ظاهرا کسی که این بازی رو تنظیم و ابداع کرده لوکا ریاضیدان مشهور فرانسوی آنرا تحت تاثیر افسانه هندی که در این مورد بیان شده و ما نیز در موردش بیان میکنیم ، بوده است .

برج هانوی متشکل از سه میله که با فاصله ای بر روی یه سطح ایجاد شده و ابزار کار این بازی قرصهایی هستند که به صورت چنبره (دونات) می باشند . همانگونه که در شکل زیر مشاهده میکنید

 

در اینجا 8 عدد قرص به صورت مرتب یعنی از بزرگ به کوچک بروی هم قرار گرفته و یک برج را ایجاد کرده اند . بازی به این صورت است که شما می بایست تمام قرصهای بروی میله A را با کمک میله C به میله B منتقل کنید . البته برای انتقال قرصها باید دو شرط زیر را در نظر بگیرید :

1-    هر بار بیش از یک قرص را نمی توان جابجا کرد

2-    هر قرصی را که جابجا می شود باید روی میله خالی و یا روی قرص بزرگتر قرار داد . هرگز قرص بزرگتر روی قرص کوچکتر قرار نمی گیرد.

به احتمال زیاد بسیاری از افراد گمان می کنند که با محدود شدن به این دو شرط مساله غیر قابل حل خواهد شد . ولی در حقیقت این یک بازی (مساله) برای آزمایش حوصله است .

حال سوالی که پیش می آید اینکه ، چند جابجایی لازم است تا تمام برج در محل جدید خود قرار بگیرد ؟

برای پاسخ به این سوال دو راه حل داره ، یکی اینکه بشینیم یکی یکی قرصها رو جابجا کنیم تا تمام قرصها از روی ستون A به ستون B منتقل بشه و در کنارش تعداد حرکات رو هم بشمریم ، اونوقت متوجه میشیم چند تا جابجایی داشتیم یا اینکه به این صورت رفتار کنیم .

اگر تعداد جابجایی قرصها رو X و تعداد قرصها رو n فرض کنیم ، برای انتقال " برج " از میله A به میله B خواهیم داشت :

 

بنابراین برای 8 قرص بدست می آید

 به عبارت دیگر برای حل مساله فوق باید 255 بار قرصها را جابجا کرد . البته اثبات این فرمول خارج از بحث ماست و برای اینکه مطلب خیلی حالت تخصصی به خود نگیرد و جنبه جذابیت و شیرینی مطلب را حفظ کند از اثبات آن صرفنظر میکنیم .

پیشنهاد میکنیم اگه خواستید این بازی رو برای خودتون انجام بدید ، برای ابتدا از تعداد قرصهای کم شروع کنید . به مثال برای حالتی که 3 یا 4 قرص داشته باشییم به ترتیب با 7 و 15 جابجایی به جواب خواهید رسید .

واما افسانه هندی درباره برج ...

در هندوستان در شهر بنارس ، زیر گنبد معبد بزرگ ، جایی را که مرکز زمین است ، برهما بروی زمینه ای که از مفرغ  (نوعی فلز) ساخته شده است ، سه میله الماس به ارتفاع یک ارش (آرنج) و کلفتی زنبور عسل قرار داده است . در شروع عالم روی یکی از این میله ها 64 قرص از طلای خالص ، که در میان هر کدام از آنها سوراخی وجود دارد ، گذاشته شده است  ، به نحوی که یک مخروط ناقص درست شد .

برهمن ها ، که روز و شب جای خود را عوض میکنند ، پی در پی قرصهای طلا را به کمک میله دوم ، از میله اول به میله سوم منتقل می کنند (البته با در نظر گرفتن دو شرط ذکر شده فوق) .

هر وقت برهمنها کار خود را تمام کردند ، پایان عالم هم فرا می رسد .

برای کسی که بخواهد از زمان انجام این عمل مطلع شود ، محاسبه ساده زیر کافی خواهد بود .

برهمنها باید قرصها را به تعداد

18446742073709551615

مرتبه جابجا کنند . اگر برهمنها هر ثانیه ای یک قرص را جابجا کنند ، کار آنها بیش از 5 میلیارد قرن طول می کشد ، و همانطور که می بینید هنوز خیلی باید انتظار کشید .

 

واما یک سوال ریاضی...

این مساله مربوط به قرن سیزدهم میلادی می باشد که به مساله فیبوناچی هم معروف می باشد .

دو برج یکی به ارتفاع 30 متر و دیگری به ارتفاع 40 متر در مقابل هم و به فاصله 50 متر از یکدیگر قرار گرفته اند . بین آنها فواره ای وجود دارد(نقطه E) که اگر دو پرنده در یکزمان و با یک سرعت یکی از روی برج اول و دیگری از روی برج دوم به طرف آن پرواز کنند ، در یکزمان به فواره می رسند . فاصله افقی قواره از برج ها چقدراست ؟

 

واما آخرین قسمت جواب سوال 1 از پست قبلی :

اینگونه مسائل مربوط به مبحث احتمالات می باشند . که برای حل این مساله با توجه به قوانین ترکیبات بدین گونه عمل میکنیم . با توجه به اینکه از کل 52 کارت 13 کارت انتخاب میکنیم با شرایطی که در صورت مساله بیان شده ، بنابراین ترکیب هر یک از حالات را از 13 کارت را محاسبه و حاصلضرب چهار ترکیب جواب مساله می باشد یعنی :

 

بنابراین به 8 میلیارد و 211 میلیون و 173 هزار و 256 طریق می توان از 13 کارت 5 کارت پیک ، 3 کارت دل ، 3 کارت خاج و 2 کارت خشت انتخاب کرد . عدد نجومی جالبیه !!!!

لازم به یاداوری می باشد که :

شاد و سربلند باشید.