اویلر ریاضیدان

نکاتی در مورد معکوس پذیری توابع (وارون توابع)+ دو سوال به همراه حل آن !!

euler — Fri, 29 Feb 2008 16:24:18 GMT

درود بر دوستان !

امیدوارم که همگی خوب و خوش وخرم و خوشحال و خوشگل و خوب باشید. دقیقا ۲۷۶ روز که به دلیل مشکلا و مشغله ای که بود نتوانستم در وبلاگ مطلب بنویسم . که تصمیم دارم از این به بعد اگر فرصتی و عمری باشد نوشتن مطلب در وبلاگ رو دنبال کنم .

مطلبی که برای این پست در نظر گرفتم در مورد معکوس پذیری توابع می باشد که با توجه به گستردگی و سنگینی مطلب عموما در کتب دبیرستان و ریاضیات عمومی دانشگاه از نوشتن آن خودداری می شود و تنها به اشاره ای کفایت می کنند .امیدوارم این مطلب برای علاقمندان مفید واقع شود.

نکاتی در مورد وارون توابع :

تعریف 1 : مجموعه عبارتست از گردایه ای (دسته ای) از اشیاء کاملا مشخص و دوبدو متمایز.

تعریف 2: به عبارتی ساده ولی نه چندان دقیق ، یک خانواده دسته ای از اشیاء کاملا مشخص است که لزوما دوبدو متمایز نیستند.

فرض کنیم یک مجموعه باشد و به هر عنصر مانندیک عضو متناظر است، خانواده تمام عضوهای نظیر را خانواده عضوهای اندیس دار گوییم
تعریف 3 : فرض کنیم A وB دو مجموعه باشند، یک تابع زیر مجموعه ای چون f ازاست بطوریکه
الف) اگر آنگاه b ی درB هست که
ب) این عنصر b یکتاست ، به عبارت دیگر ، اگر و طوری باشند که و آنگاه نتیجه می گیریم که b=c .
تعریف 4: اگر یک تابع باشد ، آنگاه زیر مجموعه B ، نگاره f (بردf)به صورت زیر تعریف می شود:

تعریف 5: تابع پوشا برروی ‌‌B است ، اگر هر عضو B به ازای حداقل یک a در A ، به صورت
باشد.
تعریف 6: تابع یک به یک است اگر به ازای هر ، تساوی a=b را ایجاب کند.
تعریف 7: تابع دوسویی یا تناظر یک به یک است ، هرگاه هم یک به یک و هم پوشا به B باشد.
مثال 1 : تابع همانی که با ضابطه برای هر ،تعریف می شود ، تابعی دوسویی است.
تعریف 8: اگر و دو تابع باشند و اگر نگاره f زیر مجموعه ای از C باشد ، آنگاه می توانیم f و g را ترکیب کنیم به این نحو که "اول f را اعمال کنیم و سپس g را " به بیان صوری ، تخت این فرضیات چون را با ضابطه تعریف می کنیم.
قضیه 1 : اگر یک تابع باشد آنگاه
اثبات :واضح است
تعریف 9: فرض کنیم یک تابع باشد.آنگاه تابعی چون یک وارون چپ f نامیده می شود هرگاه به ازای هر داشته باشیم ، و هرگاه به ازای هر ، داشته باشیم ، g وارون راست خوانده می شود ، هرگاه g هم یک وارون چپ f و هم یک وارون راست f باشد آنگاه گوییم g وارون f است.
قبل از اینکه به بیان قضیه مهم شرط لازم وکافی وارون پذیری بپردازیم ، اصل بسیار مهم زیر را بیان می کنیم
اصل 1: (اصل موضوع انتخاب) اگرخانواده اندیس شده ای از مجموعه ها (با مجموعه اندیس گذار)

باشد آنگاه تابعی چون f وجود دارد که :

و به ازای هر

به عبارت دیگر ، به ازای هر ، f عضوی از را "بر می گزیند".

درک شهودی این اصل دشوار است ولی نه صادق بودنش اصول 13 گانه دیگر مجموعه ها نقض می کند و نه نه عدم صادق بودن آن .
قضیه 2: تابع دارای یک :

الف) وارون چپ است اگر و تنها اگر یک به یک باشد

ب) وارون راست است اگرو تناه اگر پوشا باشد

ج) وارون است اگر و تنها اگر دوسویی باشد

د) وارونهای قسمتهای اف و ب لزوما منحصر بفرد نیستند

ه) وارون قسمت ج منحصر بفرد نیست

اثبات: الف)

فرض کنیم f دارای وارون چپی چون g باشد و آنگاه ، بنابراین f یک به یک است.
اگر و ، آنگاه تعریف می کنیم ، این a ، بنا بر یک به یک بودن f یکتاست.
اگر و b در برد f نباشد آنگاه چنین a یی وجود ندارد، در آن صورت بنا بر اصل انتخاب a یی دلخواه از A انتخاب و را مساوی با a تعریف می کنیم . حال به ازای هر معین است و یک تابع ، از طرفی طبق تعریف g داریم ، ، و لذا g یک وارون چپ است.
ب)
اگر f دارای وارونی راست مانند g باشد و اگر ، آنگاه ، لذا این b به ازای به صورت است و بنابراین f پوشا به B است.
اگر f پوشا باشد و آنگاه به ازای a یی از A ، که لزوما یکتا نیست ، داریم .به ازای هر ، بنا بر اصل انتخاب ، را یک عضو مشخص دلخواهی از A می گیریم که ، آنگاه g یک تابع و وارون راست f است.
ج) بنابر قسمت الف و ب واضح است.
د) تابع با ضابطه را در نظر بگیرید .تابع تعریفی یک به یک است زیرا اگر آنگاه a-b=0 و در نتیجه a و b مساوی هستند.
بنابراین این تابع یک وارون چپ دارد که مثلا با ضایطه

تعریف می شود ، زیرا

بدیهی است که عدد دلخواه 15 فقط به این دلیل آمده است که روی تمام تعریف شود. می توانیم به جای 15 هر عدد دیگری انتخاب کنیم. پس وارون چپ یکتا نیست.

حال به مثال زیر توجه نمایید:

اگر آنگاه f تابعی از به پوشا می باشد ولی یک به یک نیست . از طرفی توابع و
هر دو وارونهای راست f ولی با هم یکی نیستند ، از طرفی وارون چپ نمی باشند زیرا :

ه) اگر f دارای وارونهای و باشد آنگاه

یعنی وارون f یکتاست .

و حال دو تا سوال ۲۰۰۸ ی که یکی جبری و دیگری در زمینه نظریه اعداد می باشد:

۱- نشان دهید به ازای اعداد صحیح و مثبت a و n ، وجود دارد b ی بطوریکه :

حل :
داریم

با استفاده از فرمول دو جمله ای داریم :

بنابراین

و در اینجا حل مساله کامل است

2- نشان دهید که بر بخش پذیر می باشد

حل :
و نیز عدد اول می باشد. بنا بر قضیه کوچک فرما (بطوریکه pاول می باشد) داریم

واضح است که ، و و 8 و 251 نسبت بهم اولند ، بنابراین

و حل کامل است .

و در پایان نیز یک سوال جالب و زیبا که امیدوارم دوستان و ریاضی دوستان سوال را حل نمایند و به mail ارسال نمایند تا در پست بعد عینا گزارده شود .

سوال :نشان دهید که دنباله که ، نزولی است

با تشکر از شما دوستان
بدرود

بیان و اثبات قضیه ویلسون+یک سوال از مثلثات!!

euler — Tue, 29 May 2007 11:54:18 GMT

با عرض سلام خدمت تمامی دوستان و ریاضی دوستان .امیدوارم که همگی خوب و خوش و سرحال باشید. در این پست قصد دارم ابتدا ، قضیه ویلسون را بیان و اثبات کنم و سپس یک سوال جالب که امیدوارم دوستان بتوانند به راحتی به جواب برسند و بعد از آن جواب سوال پست قبلی که انتگرال زیبای بیان شده می باشد. با تشکر از همه شما عزیزان سهیل یزدانی

قضیه ویلسون

نشان دهید ،به ازای هر عدد اول داریم

اثبات :ابتدا ثابت می کنیم به ازای هر عدد صحیح a ، با شرط ، عدد یکتای وجود دارد به طوری که . برای اثبات این مطلب دسته اعداد زیر را در نظر می گیریم .

واضح است که هیچ کدام از اعضای مجموعه بالا بر p بخشپذیر نیستند و همچنین هیچ دو عضوی از آن به هنگ p همنهشت نیستند .بنابراین مجموعه عضوی بالا به هنگ p ، زیر مجموعه عضوی
باشد. بنابراین باید این دو مجموعه به هنگ p با هم برابر باشند. از این رو عدد 1 در مجموعه مفروض ظاهر شده است. (به عدد ، عکس حسابی عدد a گویند.)
واضح است که عکس حسابی اعداد 1، خودشان هستند ، بنابراین مجموعه را می توان به دو مجموعه و طوری تقسیم کرد که

در نتیجه

و در اینجا اثبات کامل است.

سوال

و اما سوال جدید..

نشان دهید که

سوال راحتی است ، منتظر جوابهای شما عزیزان هستم.

جواب سوال از پست قبل.

حل:

برای حل این انتگرال ابتدا ، برای اینکه رادیکال را حذف کنیم قرار می دهیم (تغییر متغیر)
. بنابراین داریم

حال ،I را معادل انتگرال زیر قرار می دهیم یعنی

حال ، عبارت درجه چهاری که در مخرج کسر قرار دارد را می توان به صورت حاصلضرب دوعبارت درجه دو نشان داد. در نتیجه

از این رو ،

که کسر انتگرالده را می توانیم به صورت کسرهای جزیی تجزیه کنیم .یعنی

در نتیجه،

برای دو عبارت آخر می توانیم از فرمول استانده زیر استفاده کنیم

که بدست می آوریم

از آنجاییکه

از اینرو،

و از این جهت

بنابراین

و از آنجاییکه ، پس

و در اینجا حل انتگرال کامل است. امیدوارم که لذت برده باشید.

یک سوال از انتگرالها و یک سوال از مثلثات + فرمول استرلینگ!!

euler — Sat, 12 May 2007 08:29:18 GMT

با عرض سلام خدمت تمامی دوستان و ریاضیدوستان . امیدوارم که همگی خوب وخوش باشید.به دلیل یک سری مشغله های کاری و درسی ، باعث شد کمی به روز کردن وبلاگ طول بکشد. به هرحال..
مطلبی که می خوام برای این پست در وبلاگ قرار بدم ابتدا یه سوال مثلثاتی به همراه جواب آن و در ادامه یک سوال جدید که امیدوارم دوستان این سوال رو حل کنند ، سوال از انتگرالهاست ، و به ظاهر سوال جالبی به نظر می رسد و پس از آن جواب سوال از پست قبل و پس از آن یک مطلب در مورد فرمول استرلینگ و اثبات آن که می توانید در ادامه مطلب مشاهده نمایید.امیدوارم که مورد عنایت شما دوستان قرار بگیرد و مفید باشد .باتشکر سهیل یزدانی

سوال : در نظر میگیریم ،حال نشان دهید که مقدار .عددی گویاست.
حل : ار آنجاییکه

بنابراین

و در اینجا حل مساله کامل است.این هم سوال و جوابی در زمینه مثلثات برای علاقه مندان به مثلثات.

واما سوال جدید ...

سوال:
انتگرال نامعین زیر را محاسبه کنید.

منتظر جوابهای شما دوستان هستم.سوال زیبایست و امیدوارم که بتوانید به راحتی به جواب دست یابید.
جواب سوال از پست قبل:

حل : فرض کنید که ، در نتیجه به دست می آوریم که . حال این x را در رابطه (*) جایگزین می کنیم :

حال فرض کنید و یا . دوباره این x را در رابطه (*) جایگزین می کنیم :

دوباره تعریف می کنیم که و یا معادلا . حال x را در رابطه (*) قرار می دهیم :

یک بار هم را در رابطه (*) قرار می دهیم :

از حل دستگاه ۴ معادله و ۴ مجهول بالا می توان را پیدا کرد .برای مثال می توان دو برابر رابطه (۴) را از مجموع روابط (۱)،(۲) و (۳) کم کرد تا بدست آید:

و یا معادلا

و در اینجا حل مساله کامل است.

حال ، مطلب جدید که در مورد فرمول استرلینگ می باشد را می توانید در ادامه مطلب مطالعه فرمایید.

معرفی نماد فروهر + یک مطلب از چند جمله ایها + یک سوال از آنالیز

euler — Sun, 15 Apr 2007 10:45:18 GMT

سلام و درود بر تمام دوستاران ریاضی و ریاضی دوستان!!

عید باستانی گذشته بر تمام عزیزان مبارکباد.درست است کمی دیر شده برای تبریک عید ولی مهم این است که این عید باستانی نوروز را تبریک گفت.به همین دلیل قبل از اینکه اولین مطلب سال جدیدی را در وبلاگ قرار دهم تصمیم دارم یک مطلب در مورد نماد فروهر قرار دهم امیدوارم که مفید و جالب واقع شود. با تشکر سهیل یزدانی

نياكان ما از چند هزار سال پيش دريافته بودند كه هر انسان زنده از تن، جان، روان، وجدان و فروهر (Fravahr) سرشته شده كه پويندگي و بالندگي انسان از كوشش و جوشش آن‌هاست.

فروهر از دو واژه‌ي “فره” به معني جلو، پيش و “وهر” يا ورتي به معني برنده و كشنده درست شده است و شايد بتوان گفت از نظر زندگي، فروهر بزرگترين و باارزش‌ترين جزء وجود انسان است ، چون پرتوي از هستي بي‌پايان اهورامزداست كه انسان را به‌سوي رسايي رهنما مي‌شود و وظيفه‌ي پيش‌بري و فرابري، براي انسان به برترين پايه‌ي هستي را داراست. و پس از مرگ با همان پاكي و درستي به اصل خود (اهورامزدا) مي‌پيوندد.

امروزه نگاره‌ي زير بين زرتشتيان نمايانگر شكل فروهر است و به‌عنوان نشانواره‌ي دين زرتشتي به‌كار مي‌رود. اين نگاره، گذشته‌ي چندين هزارساله داشته و شبيه آن در جاهاي ديگر و نزد قوم‌هاي ديگري ديده شده است ولي شكل كنوني آن در كتيبه‌هاي هخامنشي بالاي سر پادشاهان ديده مي‌شود.

تصویر فروهر

هر پاره‌اي از نگاره‌ي فروهر يادآور اهميت و مسوليت فروهر در زندگي است:

1- سر: سر فروهر به‌صورت مردي سالخورده است تا با ديدن آن به‌ياد آوريم كه فروهر مانند بزرگان و افراد مسن ما را راهنمايي مي‌كند.

2- دست‌ها: دست‌هاي فروهر به‌طرف بالاست به‌خاطر آنكه هميشه به اهورامزدا توجه داشته باشيم.

در دست فروهر حلقه‌اي وجود دارد كه آن‌را نشانه‌ي احترام به عهد و پيمان مي‌دانند.

3- بال‌ها: بال‌هاي فروهر باز است. چون با ديدن بال‌هاي باز، ذهن انسان متوجه پرواز و پيشرفت شده و از ديدن اين دو بال باز فورا به ياد مي‌آورد كه فروهر او را به‌سوي پيشرفت و سربلندي راهنمايي مي‌كند.

همچنين هر بال خود داراي سه بخش است كه نشانه‌ي انديشه‌نيك، گفتار نيك و كردار نيك بوده و با ديدن اين سه بخش آگاه مي‌شويم كه هرگونه پيشرفتي بايد از راه درست يعني به‌وسيله‌ي انديشه و گفتار و كردار نيك انجام شود.

4- دايره ميان شكل: دايره خطي‌ است منحني كه از هر نقطه‌ي آن شروع كنيم باز به همان نقطه خواهيم رسيد. منظور از اين دايره در ميان فروهر، نشان‌دادن روزگار بي‌پايان است. به اين معني كه هر عمل و كرداري كه در اين زندگي (روي دايره) صورت گيرد نتيجه‌ي آن در همين دنيا متوجه انسان است و اثر آن باقي خواهد ماند. (باز به همان نقطه از دايره خواهد رسيد). و در جهان ديگر روان از پاداش يا جزاي آن برخوردار خواهد شد.

5- دامن: دامن فروهر از سه قسمت به‌وجود آمده كه نشانه‌ي انديشه و گفتار و كردار بد است . از مشاهده‌ي اين سه بخش درمي‌يابيم كه همواره بايد انديشه و گفتار و كردار بد را به زير افكنده، پست و زبون سازيم. (همانطور كه دامن در زير قرار دارد)

6- دو رشته‌ي آويخته: اين دو رشته نشانه‌ي سپنتامينو (مينوي خوب) و انگره‌مينو (مينوي بد) است كه هميشه ممكن است در انديشه‌ي انسان ظاهر شوند . وظيفه‌ي هر زرتشتي اين است كه خوبي را در انديشه‌ي خود قرار داده و بدي را از آن دور كند (نيك بينديشد).

خوب

امیدوارم که لذت برده باشید

و اما ریاضی...

مطلب این پست: حل یک مساله از چند جمله ایها

سوال:اگر چند جمله ایهایی باشند که :

نشان دهید که عاملی از است.

حل : تعریف می کنیم

از این رو پنج ریشه معادله عبارتند از

بر طبق تعریف داریم که و همچنین

را به ترتیب در رابطه (*) قرار می دهیم :

چهار رابطه بالا را به ترتیب در ضرب می کنیم :

از جمع هشت رابطه بالا عبارت و یا حاصل می گردد.بر طبق قضایای مربوط به چند جمله ایها این رابطه معادل است با .
و در اینجا حل مساله کامل است.

و اما سوال جدید ...

تمام توابع را بیابید به طوری که به ازای هر x متعلق به دامنه داشته باشیم:

منتظر جوابهای شما عزیزان هستم.

واما جواب سوال از پست قبل..

فرض کنید که در آن اعداد اول متمایز می باشند. در این صورت با توجه به برابری داریم و همچنین

حال اگر فرض کنیم باشد ، آنگاه داریم

یعنی y بر x قابل قسمت است .به عبارت دیگر که در آن k ععدی طبیعی است .پس داریم :

چون است پس و از آنجا نتیجه می شود. اگر x=2 باشد در این صورت به جواب x=2 و y=4 خواهیم رسید.اگر فرض کنیم در این صورت داریم :

یعنی در حالت جواب نخواهیم داشت.بنابراین تنها جواب معادله همان x=2 ,y=4 و یا x=4,y=2 می باشد.و در اینجا حل مساله کامل است.

منتظر نظرات شما عزیزان هستم.

یک مطلب از نظریه اعداد+یک سوال از نظریه اعداد

euler — Wed, 28 Feb 2007 08:10:18 GMT

سلام . سلام به همه دوستان و ریاضیدوستان
امیدوارم که همه دوستان خوب خوب خوب باشند!!!
در این پست تصمیم دارم ابتدا یک قضیه به همراه اثبات آن را در اینجا قرار دهم و سپس یک سوال از حل معادلات و پس از آن جواب سوال قبل .امیدوارم که مفید واقع شود ! با تشکر از شما عزیزان سهیل یزدانی

یک قضیه و اثبات آن
فرض کنید p عددی اول و ثابت باشد و را عددی طبیعی در نظر بگیرید.بزرگترین عدد صحیح t که را با نشان می دهیم .می خواهیم ثابت کنیم که :

که در آن ، بزرگترین عدد صحیح نابیشتر از x می باشد که به آن جزء صحیح x گوییم.بدیهی است که تعداد جملات مخالف صفر در مجموع فوق متناهی است زیرا اگر آنگاه
اثبات:
ابتدا ثابت میکنیم که اگر اعدادی طبیعی باشند آنگاه زیرا فرض کنید :

در این صورت ، از طرفی و
یعنی ، بنابراین و در نتیجه . از این رو حکم ثابت شد.
حال به اثبات رابطه داده شده می پردازیم .مضارب p که در حاصلضرب ظاهر می شوند دقیقا عبارتند از:

بنابراین عبارت است از تعداد دفعاتی که p به عنوان یک عامل در حاصلضرب این اعداد ظاهر می شود.پس داریم :

اگر در این رابطه را به جای n قرار دهیم و از رابطه استفاده کنیم خواهیم داشت:

در نتیجه

با ادامه این روند و با توجه به اینکه اگر آنگاه ، خواهیم داشت:

و در اینجا حکم ثابت است.
حال برای درک بهتر مطلب یک مثال می آوریم :
مثال :بزرگترین توان ۳ در !۲۵۰ را بدست آورید.
حل :

منتظر نظرات شما دوستان هستم.

سوال:
معادله را در اعداد طبیعی حل کنید.

منتظر پاسخهای شما عزیزان هستم.

جواب سوال قبل

و اما جواب سوال از پست قبل...

حل: متغیر مختلط z را به صورت تعریف می کنیم. حال معادلات را به فرم متعارف تر زیر می نویسیم:

معادله (2) را در عدد i ضرب کرده و با معادله (1) جمع می کنیم :

و یا معادلا

و یا

از طرفی می دانیم که در نتیجه

بنابراین از (*) نتیجه می شود که

و یا

عبارت داخل پرانتز را برابر t تعریف می کنیم بنابراین

در نتیجه

بنابراین

از این رو دو دسته جواب زیر به دست می ایند :

و در اینجا حل مساله کامل است.

با نظرات خود ما را راهنمایی کنید .با تشکر

یک سوال + یک جواب!!

euler — Tue, 13 Feb 2007 06:55:18 GMT

سلام ، امیدوارم که همگی خوب و خوش و خرم و خوشحال باشید.
در این پست می خواهیم بدون مقدمه برویم سراغ سوال جدید و همچنین جواب سوال پست قبل .موفق باشید

سوال:

تمام های حقیقی را بیابید بطوریکه دستگاه زیر برقرار باشد:

منتظر جوابهای شما عزیزان هستم.با تشکر

واما جواب سوال از پست قبل :

با توجه به مطلبی که از پست قبل بیان شد ، فرمول معروف و زیبای اویلر ()، چنین بیان می کنیم که:

از طرفی می دانیم :

در نتیجه

و در اینجا حل مساله کامل است.

نکته: لازم به توضیح می باشد که برای حل این مساله می توان از رابطه زیر نیز استفاده کرد

که در اینجا R شعاع دایره ای به مرکز مبدا می باشد و اگر آن را به بی نهایت میل دهیم

که از اینجا به بعد را می توان بنا بر رابطه فوق ادامه داد و به جواب رسید!!

با آرزوی موفقیت روز افزون !!

یک مطلب + یک سوال از انتگرال ها!!

euler — Tue, 23 Jan 2007 07:45:18 GMT

با عرض سلام خدمت دوستان و ریاضی دوستان! امیدوارم که همگی شاد و خرم باشید.یکی از ریاضیدوستان در قسمت نظرات یک سوال از انتگرالها پرسیده اند (که به انتگرال فرنل معروف می باشد)، بنابراین ما نیز برای اینکه هم ایشان به جواب خود برسند و هم سوالی برای این پست باشد ، این انتگرال را در این پست به عنوان سوال قرار داده ام و همچنین از یکی دیگر از ریاضیدوستان (آقا مصطفی) تشکر میکنم ، به خاطر حل سوال پست قبل که در اینجا جواب سوال پست قبل را در اینجا به روشی دیگر قرار میدهم. لازم به ذکر می باشد که ابتدا در این پست ، یه فرمول جالب و زیبا رو با یک روش بسیار ساده اثبات میکنیم و امیدوارم که به کار آید!!!!با آرزوی موفقیت روزافزون سهیل یزدانی

یک مطلب:

ثابت میکنیم ، .(فرمول زیبا و معروف اویلر)

اثبات : ابتدا ، با توجه به بسط تیلور ، توابع را به ترتیب بسط میدهیم :

لازم به توضیح می باشد که توابع فوق در حول نقطه صفر بسط داده شده که به آن بسط مک لوران گفته میشود.برای اطلاعات بیشتر در مورد بسط تیلور عبارت روبرو را کلیک کنید بسط تیلور

حال ، قرار میدهیم .( لازم به تذکر می باشد که i به عنوان مبنای اعداد مختلط تعریف میشود و )و در نتیجه :

و در اینجا اثبات کامل است .جالب است بدانید که زیباترین فرمول ریاضی نیز ، در حالتی که در فرمول فوق، باشد بدست می آید که برابر است با .
نکته دیگری هم که فکر میکنم جالب باشد اینکه ، با توجه به فرمول اویلر می توان توابع سینوسی و کسینوسی را بر حسب توابع لگاریتمی تعریف کرد ، یعنی :

امیدوارم که مطلب مفید واقع شده باشد.

سوال

و اما سوال این پست :

نشان دهید :

منتظر جوابهای شما دوستان هستم.

جواب :

خوب ، واما جواب انتگرال زیبا ، از پست قبل :

دنباله های را به صورت زیر تعریف می کنیم :

ابتدا به استقرا ثابت می کنیم که به ازای هر عدد طبیعی

پس حکم برقرار است. حال داریم :

(توجه کنید که انتگرال فوق به روش جزء به جزء حل شده است)
می دانیم که

از این رو داریم

با توجه به اینکه انتگرال طرف راست موجود است ، بنابراین :

پس وقتی که .از طرف دیگر :

با تغییر متغیر داریم :

از این رو

ودر نتیجه حل مساله کامل است.

با آرزوی موفقیت در تمامی مراحل زندگی!

حل یک سوال از سری فوریه +یک سوال از انتگرال!

euler — Mon, 25 Dec 2006 06:40:18 GMT

با عرض سلام خدمت دوستان و ریاضیدوستان.

مطلبی رو که برای این پست در نظر گرفته ام ، مربوط به سریهای فوریه می باشد .که فکر می کنم هم سوال جالب و هم می توان به نتیجه جالبی رسید.بعد از آن هم یک سوال از انتگرال می باشد یعنی حل انتگرال و سپس حل مساله قبلی .امیدوارم که مفید واقع شود.با تشکر سهیل یزدانی

سری فوریه تابع را در بازه بیابید.

حل:

چون تابعی است زوج ، پس .و

در نتیجه ، سری فوریه تابع f برابر است با

بنا به همگرایی یکنواخت سری فوق ، مقدار این سری در هر نقطه x برابر است با یعنی

اگر در رابطه فوق ،قرار دهیم ، خواهیم داشت:

از این رو

و در اینجا حل مساله کامل است.لازم به توضیح می باشد که سری بدست آمده فوق ، به تابع زتا 2 معروف می باشدکه کاربرد زیادی نیز در ریاضیات دارد.

خوب ، و اما سوال جدید ....

نشان دهید که :

منتظر جوابهای شما عزیزان هستم.

واما جوای سوال پست قبل:

اگر را برابر با مجموع مورد نظر تعریف کنیم بدست می آید که :

در نتیجه

و دراینجا حل مساله کامل است.

اثبات قضيه اصلي جبر از طريق توپولوژي جبري +يك سوال از دنباله فيبوناچي!

euler — Tue, 05 Dec 2006 06:32:18 GMT

با عرض سلام خدمت دوستان و رياضي دوستان.در اين پست مقاله اي كه قصد دارم براي شما دوستان قرار دهم مقاله اي با عنوان "اثبات قضيه اصلي جبر از طريق توپولوژی جبری".اميدوارم مفيد واقع شود

اثبات قضيه اصلي جبر از طريق توپولوژی جبری
براي مشاهده مقاله برروي ادامه مطلب كليك كنيد

واما سوال اين پست:

فرض كنيد جمله i ام دنباله فيبوناچي باشد ثابت كنيد كه به ازاي هر n طبيعي داريم:

جواب سوال از پست قبل:

داريم كه

حال اتحاد زير را در نظر ميگيريم

از رابطه بالا نتيجه مي گيريم كه .واضح است كه x ،y ،z ريشه هاي چند جمله اي هستند:

در نتيجه

چند جمله اي داراي سه ريشه 1 است ، بنابراين

و در اينجا حل مساله كامل است.

اصل كمال + يك سوال از آناليز

euler — Sat, 25 Nov 2006 06:44:18 GMT

با عرض سلام خدمت دوستان و رياضي دوستان!
يكي از جذاب ترين قسمت هاي رياضي ، مسائل و سوالات رياضي مي باشد و شيريني رياضيات در حل مساله است. شما اگر يك مساله نسبتا مشكل رياضي را حل نماييد ، پس از آن يك احساس آرامش و همچنين راحتي را بدست مي آوريد .به همين دليل است كه من در وبلاگ ، ابتدا سوالاتي را قرار مي دهم و پس از آن مطلب مورد نظر.اميدوارم كه دوستان از سوالاتي كه در وبلاگ قرار مي دهم راضي باشند و از همه مهمتر در مورد حل آنها فكر كرده و به جواب برسند .اصولا ، اساسي ترين هدف در رياضيات ، انديشيدن و فكر كردن مي باشد . در اين پست ، مقاله اي را تحت عنوان " كمال در رياضيات " ، نوشته زنده ياد پروفسور كريم صديقي ، در وبلاگ قرار مي دهم.همچنين ، يك سوال جالب از آناليزو پس از آن جواب سوال پست قبل.
لازم مي دانم قبل از قرار دادن مقاله در وبلاگ ، توضيح مختصري در مورد آن ارائه كنم.دوستان عزيزي كه درس آناليز ۱ را خوانده باشند مي دانند كه يكي از مهمترين موضوعات در آناليز ، اصل كمال مي باشد. در اين مقاله به طور واضح در اين مورد توضيح داده شده است و همچنين در مورد فضاي متريك و اعداد حقيقي و موضوعات مربوط بحث شده است .اميدوارم كه مفيد واقع شود .منتظر نظرات شما عزيزان مي باشم .

با تشكر ، سهيل يزداني

كمال در رياضيات

چكيده:در اين مقاله اهميت برخي مفاهيم را در رياضي كه موجب كمال آن است ذكر نموده ، به كمك مثالهايي اين مفهوم را روشن مي كنيم.

واژه هاي كليدي: دنباله هاي كوشي ، كران بالايي ، بريدگي ، خوشترتيبي ، توسيع متناهي ، عدد جبري ، اندازه ، سيگما جبر

پيشگفتار

انسان هميشه به دنبال كمال مي باشد.از اين رو همواره تلاش دارد حائل ها را كنار زده و خود را به سرچشمه نور برساند.مفهوم كمال براي همه يكسان نمي باشد. عده اي كمال را در علم ، عده اي در ثروت ، عده اي در قدرت و ...مي بينند.ولي همه به دنبال چيزي هستند كه برايشان ارزش داشته باشد.اين ويژگي در دانش بشري هم مشاهده مي شود .دانشمندان سعي دارند دستگاههايي ارائه دهند كه خالي از نقض باشد و در صورت مشاهده كاستيها ، براي برطرف كردن آنها چاره انديشي مي كنند....

ادامه مقاله را در قسمت پاياني پست با كليك كردن برروي ادامه مطلب مطالعه فرماييد.

سوال :

همه جوابهاي مختلط دستگاه زير را بيابيد:

جواب سوال از پست قبل:

اگر ، آنگاه . در نتيجه f يك به يك است زيرا

حال چون

از يك به يك بودن تابع بدست مي آيد

پس ها يك تصاعد حسابي هستند يعني . از رابطه با مقدارگذاري بدست مي آيد يا . اما برد تابع ، زيرمجموعه است پس براي هر x ، .
و در اينجا حل مساله كامل است.

منتظر نظرات شما عزيزان هستم.